都知道怎么判断3的倍数，你会判断7的倍数吗

我们在小学二年级就知道要怎么判断一个整数是不是2的倍数，只要它的末位是2的倍数，它就是2的倍数，同样的，如果一个整数的末位是5的倍数，那么它就是5的倍数。而3的倍数要复杂一点，假如一个整数各位数之和是3的倍数，那么它就是3的倍数，有没有觉得挺神奇的？（阿婆主小学的时候觉得非常神奇），下面我们来深究一下这个原理。

我们以三位数举个例，众所周知，一个三位数可以被写成100a+10b+c的形式（a，b，c为整数），进一步可以写成（99a+9b）+（a+b+c）的形式，又因为a，b是整数，所以99a+9b肯定可以被三整除，而只要后面的部分，也就是a+b+c可以被三整除，这个整体就可以被三整除。

这就是我们小学所学的这种方法的原理。

2和5的倍数其实是同理，因为10刚好就是2和5的倍数，所以只要它的末位是2或5的倍数，它就是2或5的倍数。

那么其他数字的倍数该怎么判断呢

我们先来看看7的倍数

我们的第一直觉还是沿用刚刚的方法，还是以三位数举例，100a+10b+c可以被写成（98a+7b）+（2a+3b+c），前面的98a+7b肯定是可以被7整除的，所以只要2a+3b+c可以被7整除，这个三位数就是7的倍数，例如392，因为3×2+9×3+2=35，35是7的倍数，所以392是7的倍数

但是这个方法貌似有点问题，各位数前面的系数好像没有什么规律，我们来研究一下

实际上，第n位数前面的系数就是10ⁿ⁻¹除以7的余数，例如100÷7=14……2，因此百位数前面的系数为2，而a除以b的余数，就会等于a-b[a/b]（数字加中括号表示其整数部分）。

1÷7=0.142857142857……，所以[10/7]=1，[100/7]=14，[1000/7]=142    ……

10 mod 7=10-7=3（a mod b表示a除以b的余数），100 mod 7=100-14×7=2，又由于余数一定小于7，所以余数是个位数，我们只需要将[a/b]的个位与7相乘，与最小的比它大的10的倍数做差即可，例如百位，4×7=28，30-28=2，所以百位的系数是2。

经过计算，可以发现各位前的系数从左往右为1,3,2,6,4,5循环，也就是说对于一个整数a+10b+100c+1000d……，只需要5a+4b+6c+2d+……是7的倍数，这个数就是7的倍数。

方法是有了，但是规则比较复杂，有没有更简单一点的方法呢

我们注意到21也是7的倍数，我们可以利用一下，要判断651是不是7的倍数，我们可以判断651-21=630是不是7的倍数，而630是不是7的倍数，我们只需要判断63是不是7的倍数就可以了

我们一般化一下

还是以三位数举例，对于整数100a+10b+c，我们可以减去21c，这样就变成了100a+10b-20c，即10（10a+b-2c），只要10a+b-2c是7的倍数，100a+10b+c就是7的倍数

对于1个整数，我们只需要将前面的部分减去末位的两倍，如果得到的倍数是7的倍数，这个数就是7的倍数，如判断693是不是7的倍数，因为69-3×2=63，而63是7的倍数，所以693是7的倍数。

其他数字的倍数也可以用差不多的方法

如果一个数各个位上的数字和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。

如果一个数去掉末位后的数减去末位的2倍，得到的结果是7的倍数，那么原来的数就是7的倍数。

如果一个数去掉末位后余下的数减去末位，结果是11的倍数，那么原来的数就是11的倍数。

如果一个数奇数位的数字和减去偶数位的数字和，差是11的倍数，那么原来的数就是11的倍数。

如果一个数去掉末位后余下的部分减去末位的9倍，结果是13的倍数，那么原来的数就是13的倍数。

如果一个数去掉末位后余下的部分加上末位的4倍，结果是13的倍数，那么原来的数就是13的倍数。

如果一个数去掉末位后余下的数减去末位的5倍，结果是17的倍数，那么原来的数就是17的倍数。

如果一个数去掉末位后减去末位的17倍，结果是19的倍数，那么这个数就是19的倍数。

如果一个数去掉末位后加上末位的2倍，结果是19的倍数，那么这个数就是19的倍数。

把一个数的末三位和其余部分分成两段，用这两段数字做差，如果结果是7或者11或者13的倍数，那么原来的数就是7或者11或者13的倍数。

---转自李永乐