证明√2（根号2）是无理数，假、定、假定，假设

欧几里得78、证明√2（根号2）是无理数，假、定、假定，假设

 

反证法范例2：证明√2（根号2）是无理数

…反证法：见《欧几里得72~75》…

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

…无理数：见《欧几里得27》…

 

设命题不真，则√2（根号2）为有理数

…命、题、命题：见《欧几里得70》…

…真：符合事实…见《欧几里得75》…

…不真：不符合事实…

…有、理、有理、有理数：见《欧几里得25》…

 

设√2=n/m，即最简分数的形式。则（n/m）2=2

（“整数相当于分母是1的分数，所有任何有理数都能写成分数。”中学生说。）

…最、简，分、数、分数，最简分数：见《欧几里得77》…

…形、式、形式：见《欧几里得13》…

…（n/m）2=2：（n/m）的平方=2…

 

∵ （n/m）2=2

∴ 2m2=n2（2×m的平方=n的平方）

…∵：数学符号“因为”…见《欧几里得77》…

…∴：数学符号“所以”…见《欧几里得77》…

 

∴ n2（n的平方）=m2/2（m的平方/2）

∴ n2（n的平方）为偶数

∴ n为偶数（奇数的平方为奇数，偶数的平方为偶数）

 

n可表示为2x

 

∵ 2m2=n2（2×m的平方=n的平方），n2=2x（n的平方=2x）

∴ 2m2=n2=（2x）2[（2x）的平方]=4x2（4·x的平方）

∴ m2=2x2（m的平方=2·x的平方）

 

∵ 奇数的平方为奇数，偶数的平方为偶数

∴ m 也为偶数

∴ m和n有公因数2，这与n/m为最简分数矛盾

 

根据矛盾律（互相矛盾的两命题必有一假），“m和n有公因数2”“n/m为最简分数”必有一假

…矛盾律：见《欧几里得73》…

…命、题、命题：见《欧几里得70》…

…假：不符合事实…见《欧几里得75》…

 

根据排中律（命题不可能既真又假），“n/m为最简分数”真，所以“m和n有公因数2”必为假

…排中律：见《欧几里得72~74》…

 

根据逻辑关系（证明方法正确，原命题为真、推论为真，原命题为假、推论为假），原命题“√2（根号2）为有理数”为假

…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…

…关、系、关系：见《欧几里得75》…

…逻辑关系：见《欧几里得76》…

 

∴ 原命题的反命题为真

∴ “√2（根号2）为无理数”为真

∴ √2（根号2）为无理数

 

这个证明简短而又有力，充分体现了证明者的智慧，也体现出数学的概括性和美丽。（百度百科语）

反证法（百度汉语）2：证明定理的一种方法。先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理。也叫归谬（miù）法。

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

…结、论、结论：见《欧几里得66》…

…假：不真实的；伪造的；人造的（跟“真”相对）：～话。～发。～山。～证件。～仁～义…见《欧几里得73》…

…定：见《欧几里得2》…

 

假定：科学上对客观事物的假设。参见“假设”。

…科、学、科学：见《欧几里得4》…

…设：会意。从言，从殳（shū）。本义：摆设；陈列。

字义：1.设立；布置：～防。～宴。总部～在北京。

2.筹划：～计。想方～法。

3.假设：～想。～x=1。～长方形的宽是x米…

（…会：理解；懂得：体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…

…意：意思：来～…

…会意：造字法之一。会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如“信”字。“人言为信”，“信”字由“人”字和“言”字合成，表示人说的话有信用…）

…假设：1.虚构：故事情节是～的。

2.科学研究上对客观事物的假定的说明，假设要根据事实提出。经过实践证明是正确的，就成为理论…

（…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…

…理、论、理论：见《欧几里得5》…）

 

…

…归、谬、归谬，法，归谬法：见《欧几里得76》…

 

““以前，人们用‘痛苦’识别努力：痛苦了…说明努力了；不痛苦…说明没有努力…”中学生说，“经过我们的证明…我们认识到：努力也可以是快乐的…”

“那些看起来没经历痛苦、快快乐乐就成功的人（虽然很少，但是…这样的人还是有的）…也可能是‘努力的人’…”中学生最后说。

请看下集《欧几里得79、人能快快乐乐的成功吗？》”

若不知晓历史，便看不清未来

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