黎曼积分和勒贝格积分的区别

黎曼积分就是我们熟悉的积分：

从上图可以看出，黎曼积分是对定义域做划分，然后一个一个区间进行求和。

黎曼积分要求被积函数基本上符合连续的条件，否则不可积，例如：

也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）。这个函数不可黎曼积分。

再看勒贝格积分的思想：

从上图可以看到，勒贝格积分的同一个值域划分区间，有可能对应若干个定义域区间，其实就是求对应同一个函数值相对应的定义域的测度之和，而黎曼积分则反过来。

更具体的例子：

这里，钞票的面额相当于值域，钞票的张数对应于定义域。

迪利克雷函数勒贝格可积：

积分的结果为0是因为有理数的测度为0，无理数的测度为1，因而勒贝格积分=0+0x1=0。

由上面分析可以看到，两种积分存在着比较明显的区别。