繁分数估算取整题的一种解法：利用最值原理分段放缩

这是两道求繁分数整数部分的估算取整题.

两道题目中，分子都是1，分母都是5个分子为1的分数之和，分母中的分母则都是递减连续自然数.

显然，题目并不希望我们强行通分计算精确结果，否则它不会只让你求整数部分.

所以我们的目标是简化原本恐怖的通分.

通常我们说的通分，都是指通分母.

所以只要分母变得简单，通分计算量就会相应减少.

怎样让分母变得简单呢？

最简单粗暴的方法就是让分母全都一样.

再次看一下第1题——

你打算让分母统一为2015呢？还是2014呢？还是2013呢？还是2012呢？还是2011呢？

注意到，分母越大分数越小，我们可以得到以下不等关系——

2015分之1＜2014分之1＜2013分之1＜2012分之1＜2011分之1

所以想要放大五个分数之和，就让它们全都变为最大分数2011分之1；

若是想要缩小五个分数之和，就让它们全都变为最小分数2015分之1.

又因为五个分数之和是第1题原式的分母，所以五个分数之和放大原式缩小，五个分数之和缩小原式放大.

于是就可以得到一个形如“A＜原式＜B”的范围.

这就是“整体放缩法”，以下是具体解答步骤——

由于原式S的值介于小数402.2与整数403之间，可以得出结论：S的整数部分必定是402.

至此第1题解答完毕.

接下来我们来看第二题——

第2题与第1题非常相似，仅仅是五个连加分数的分母的值有所改变.

所以我们会不假思索地套用第1题的解法——整体放缩法.

以下是仿照第1题的解法，解答第2题的步骤——

还是一样的配方，但却是不一样的味道.

我们发现S的值介于小数400.6与小数401.4之间，这个范围让我们为难，只能得出结论：原式S的整数部分可能是400也可能是401.

接下来请思考：第2题的答案可能有2个吗？

S的值是精确唯一的，那么它的整数部分也一定是唯一的某个整数.

之所以会得到“S的整数部分可能是400也可能是401”，原因只能是用在第1题的整体放缩法在第2题中失效了.

所谓失效，也就是我们把S放得过大又或是把S缩的过小，导致S所在的范围太宽，宽到横跨了2个整数.

既然整体放缩法不能每次都奏效，我们不得不考虑能够更加“精确放缩”的方法.

你可能已经想到，相对于整体放缩，更加精确的操作是针对局部来放缩——

例如，X=1+2+3+4+5，按整体放缩的思路就是1×5=5＜X＜5×5=25；

而如果是局部放缩，我们可以把X分三部分：X=(1+2)+3+(4+5)，然后每部分分别放大或缩小——(1+1)+3+(4+4)=13＜X＜(2+2)+3+(5+5)=17.

整体放缩得到的X的范围是5~25，而局部分段放缩得到的X的范围是13~17.

因此我们有理由相信，局部放缩，也就是分段放缩，确实是更加精确的放缩方法.

再来看看第2题——

你想到什么分段的好办法了吗？

如果是按照我们之间举例的那样，2007分之1与2006分之1为第一段，2005分之1为第二段，2004分之1与2003分之1为第三段，分三段来放缩，确实是可以缩小S的值的范围.

但缺点也很明显，通分计算量太大——比如把S的分母放大为“1/2006+1/2006+1/2005+1/2003+1/2003”时你需要给三个不同分母通分.

既然按原来的顺序分段不好使，我们可以更加创造性地像高斯那样进行首尾配对.

2007与2003一对，2006与2004一对，2005与自己一对.

你很快发现这样配对的好处是——和为固定值.

说到“和定”，你马上想到最值原理——“和定差小积大”.

因为——

2007+2003=2006+2004=2005+2005=4010，

那么——

2007×2003＜2006×2004＜2005×2005，

再取倒数（注意反号）——

再扩4010倍（为什么是4010倍？）——

再分数裂项——

最后终于得到基于最值原理的分母统一的不等式——

以上不等式可以用来得到第2题原式S值的上限.

把第2题原式S值用最值原理分段放大、整体放缩法缩小的具体解答步骤如下——

至此，我们成功的把S的取值范围压缩到介于小数400.6与整数401之间，那么S的整数部分就必定是400.

总结——

本文对比了两道非常相似的繁分数估算取整的题目——

这2道题我们都先尝试用整体放缩法，第1题成功，但第2题暴露出“整体放缩法范围可能横跨2个整数”的问题，于是我们为了更精确放缩采用了分段的思路，然而通常的“截断分段”也没有奏效，这促使我们更加创造性地使用了“高斯首尾配对”的方式来分段，并且注意到这种分段的特征是“和定”，便更进一步与不等式的好朋友“最值原理”结合起来，充分利用“和定差小积大”变形得到更精确的S的放大值，最终成功得出第2题S的整数部分.