【趣味数学题】Γ-ζ 乘积积分函数

2022-03-20 04:42 作者:AoiSTZ23 0人读过 | 我要投稿

郑涛（Tao Steven Zheng）著

【问题】

Γ-ζ乘积积分函数（Gamma-Zeta product integral）是高等物理学中出现的一个重要结果。这个问题解释如何从Γ函数（Gamma function）和ζ函数（Zeta function）[1]得到一个更简单的积分。

先用 $s%20%3D%20nu%20$ 这个变换开始，证明

$%5CGamma(x)%5Czeta(x)%20%3D%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-s%20%7D%20%7D%20%7B%20s%20%7D%5E%7B%20x-1%20%7Dds%5Cleft(%20%5Csum%20_%7B%20n%3D1%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%7B%20n%20%7D%5E%7B%20-x%20%7D%20%7D%20%20%5Cright)$

等于

$%5CGamma(x)%5Czeta(x)%20%3D%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%5Cfrac%20%7B%20%7B%20u%20%7D%5E%7B%20x-1%20%7D%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20u%20%7D-1%20%7D%20du%20%7D%20$

[1] ζ函数（Zeta function）又称黎曼ζ函数（Riemann Zeta function）。

【题解】

由于Γ函数（Gamma function）是一个实数，我们可以将乘积写成

$%5CGamma(x)%5Czeta(x)%20%3D%20%20%5Csum%20_%7B%20n%3D1%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-s%20%7D%20%7D%20%7B%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bs%7D%7Bn%7D%20%5Cright)%7D%5E%7B%20x-1%20%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7Dds%20%7D$

设 $s%20%3D%20nu$ ，所以 $%20ds%3Dndu$ ，那么

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5CGamma(x)%5Czeta(x)%20%26%3D%20%20%5Csum%20_%7B%20n%3D1%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-nu%20%7D%20%7D%20%7Bu%7D%5E%7B%20x-1%20%7Ddu%20%7D%20%5C%5C%0A%20%26%3D%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20(%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-u%7D%20%2B%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-2u%7D%20%2B%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-3u%7D%20%20%2B...%20)%20%7D%20%7Bu%7D%5E%7B%20x-1%20%7Ddu%20%5C%5C%0A%20%26%3D%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%7B%20u%20%7D%5E%7B%20x-1%20%7D%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-u%20%7D%20%7D%20%5Cleft(%20%5Cfrac%20%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20u%20%7D%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20u%20%7D-1%20%7D%20%20%5Cright)%20du%20%5C%5C%0A%20%26%3D%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%5Cfrac%20%7B%20%7B%20u%20%7D%5E%7B%20x-1%20%7D%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20u%20%7D-1%20%7D%20%20%7D%20du%20%5C%5C%0A%5Cend%7Balign%7D$

结果

$%5CGamma(x)%5Czeta(x)%20%3D%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%5Cfrac%20%7B%20%7B%20u%20%7D%5E%7B%20x-1%20%7D%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20u%20%7D-1%20%7D%20%20%7D%20du%20$

标签：

【趣味数学题】Γ-ζ 乘积积分函数

【问题】

【题解】