[Calculus] Gamma-Zeta Product

2022-03-20 04:28 作者:AoiSTZ23 0人读过 | 我要投稿

By: Tao Steven Zheng (郑涛)

【Problem】

The Gamma-Zeta product is an important result that crops up in advanced physics. This problem explains how the product leads to a simpler integral.

Start with the substitution $s%20%3D%20nu%20$ . Show that

$%5CGamma(x)%5Czeta(x)%20%3D%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-s%20%7D%20%7D%20%7B%20s%20%7D%5E%7B%20x-1%20%7Dds%5Cleft(%20%5Csum%20_%7B%20n%3D1%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%7B%20n%20%7D%5E%7B%20-x%20%7D%20%7D%20%20%5Cright)$

is equivalent to the integral

$%5CGamma(x)%5Czeta(x)%20%3D%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%5Cfrac%20%7B%20%7B%20u%20%7D%5E%7B%20x-1%20%7D%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20u%20%7D-1%20%7D%20du%20%7D%20$

【Solution】

Since the gamma function is a real number, we may treat the product as

$%5CGamma(x)%5Czeta(x)%20%3D%20%20%5Csum%20_%7B%20n%3D1%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-s%20%7D%20%7D%20%7B%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bs%7D%7Bn%7D%20%5Cright)%7D%5E%7B%20x-1%20%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7Dds%20%7D$

We let $s%20%3D%20nu$ and $%20ds%3Dndu$ , thus

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5CGamma(x)%5Czeta(x)%20%26%3D%20%20%5Csum%20_%7B%20n%3D1%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-nu%20%7D%20%7D%20%7Bu%7D%5E%7B%20x-1%20%7Ddu%20%7D%20%5C%5C%0A%20%26%3D%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20(%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-u%7D%20%2B%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-2u%7D%20%2B%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-3u%7D%20%20%2B...%20)%20%7D%20%7Bu%7D%5E%7B%20x-1%20%7Ddu%20%5C%5C%0A%20%26%3D%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%7B%20u%20%7D%5E%7B%20x-1%20%7D%7B%20e%20%7D%5E%7B%20-u%20%7D%20%7D%20%5Cleft(%20%5Cfrac%20%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20u%20%7D%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20u%20%7D-1%20%7D%20%20%5Cright)%20du%20%5C%5C%0A%20%26%3D%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%5Cfrac%20%7B%20%7B%20u%20%7D%5E%7B%20x-1%20%7D%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20u%20%7D-1%20%7D%20%20%7D%20du%20%5C%5C%0A%5Cend%7Balign%7D$

Result

$%5CGamma(x)%5Czeta(x)%20%3D%20%5Cint%20_%7B%200%20%7D%5E%7B%20%5Cinfty%20%20%7D%7B%20%5Cfrac%20%7B%20%7B%20u%20%7D%5E%7B%20x-1%20%7D%20%7D%7B%20%7B%20e%20%7D%5E%7B%20u%20%7D-1%20%7D%20%20%7D%20du%20$

标签：

[Calculus] Gamma-Zeta Product

【Problem】

【Solution】