高等数学：定积分定义汇总（一网打尽）

定积分定义（一网打尽）汇总篇

对于定积分定义这一块的知识点，这篇专栏可以说是囊括了考研内所有的内容。

大家可以好好阅读以下总结与题目（全是由本人亲自汇总的哦~）

前提：阅读以下内容是默认当前你对定积分定义的概念已经掌握！

定积分定义和夹逼准则是计算数列极限的重要方法

首先来看定积分的精确定义：

显然大家肯定对这个都非常熟悉，我们这里不做过多阐述。

其运用主要有 3 种形式：基本型、放缩型、变量型

1.基本型

对于基本型很是普遍，也是最简单的一种，我们先从一道送分题入手：

说白了就是凑形式（凑定义）

注意定积分定义也可能和等价无穷小相结合

看题便知：

2.放缩型

其中放缩型包含3种：

这种放缩型的考题（结合夹逼准则）会经常出现，大家一定要熟之又熟！

下面我们来看一道例题吧，闲言少叙，上题：

这种先放缩再凑定义的题屡见不鲜，值得注意的是，我们对于原式的放缩，其中一边容易得到，但有时候另外一边则不太容易得到，这个得看各自的放缩本领，熟能生巧。

所以是时候引出 单边定积分+做差放缩 法了，这个前提得是容易看出一边的放缩，再根据定积分定义便可提前算出结果。不过大题只放缩一边未免也太不严谨了！我们可以这样来解决另外一边比较难放缩时的情况：即做差放缩求极限，看是否为零，其实本质也是在用夹逼准则，若做差放缩求极限得零，便可以直接写出单边定积分定义的数值即为所求。

说了这么多，不知道大家有没有理解，好吧~还是来道题展示一下这个方法的运用：

以我们之前的上一题来作演示，这个方法可以用来快速判断（选择/填空）。

这个放缩方式大家可以试试用于别的题目，这个方法也是一种万能方法，应当理解！

3.变量型

这种变量型的题目不太常见，大家要小心且注意，不要换了个形式就不认得了，正所谓是换汤不换药，可以结合基本型的形式来理解记忆。

下面也是用一道题目来给大家观赏其中的用法：

好嘞~ 上面这三种类型大家若可以熟练掌握，那么恭喜，定积分定义已经掌握的差不多了。

不过！以上这些其实还不够！我们继续来看下面的补充：

补充1

对于补充1：其实并不难理解，也就是基本型的变形而已，积分区间为原来基本型的L倍。

好啦~看题理解一下便知：

补充2

对于补充2：是我在以前刷竞赛题看到的，可以说是一个结论，大家会用即可。

那么对于这个补充2，我们继续来看在一道题中的运用，看题：

这道题其中涉及了一个斯特林极限，也是可以用定积分定义来求得的，大家如果不知道第三行中的 “注意到” 是怎么得来的，可以观看我之前发布的一个视频，介绍了这个斯特林极限。

好了，看到这里，定积分定义的相关题型与公式总结便就结束了（希望大家喜欢~~~）。

感谢大家的观看，点个赞再走呗 ^o^ 

编辑于2021-09-02