【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集
个人对于相似变换和叉乘的几何意义重点做了补充，欢迎交流
线性变换与矩阵
线性变换：原点不动+网格平行且等距分布
（向量本质表示基向量的线性组合）
矩阵的第一列就是变换后的i-hat，而第二列就是变换后的j-hat，任何向量在经过线性变换后都保持它与i-hat,j-hat原有的数乘+加法关系
所以观察线性变换的本质就是看基向量经过变换后的位置是哪里（也就是从变换的矩阵列向量中得到）
矩阵乘法，即多次线性变换的叠加，欲得两个矩阵作用结果，用右者的每一列（基向量）逐个被左边的矩阵线性变换，得到那之后的新基向量，由此得到最终矩阵的各个列
行列式与叉积
这里也可以用右手定则去理解，朝自己就是+，朝屏幕里就是-这种
对于二维而言：
矩阵对应的行列式determinant(matrix)绝对值表示为线性变换后的图形面积与原坐标系下图形面积之比（原坐标系是标准的i,[1,0],j[0,1]）
三维的方向是由右手定则规定正方向的，拓展至更高维，本质上就是hat之间的方位关系
变换后空间的维数-矩阵列
（各个hat的线性集合构成的）空间的维数
零空间：变换后成为零向量的原来一系列向量的集合
行数是指的放在几维空间衡量ta（和矩阵的列空间不同哈，矩阵的列空间是指的基向量能张成的空间，维度小于等于所在的空间）
列是指的基向量的个数
并且列数也表明了原空间的维度
v在w上投影的长度与w长度之积（正负表示二者方向）
向量和空间的转换存在一种对偶关系
和之前基向量的方向定义类似
的叉积公式
矩阵的乘法和向量点乘不是同一回事啊喂
p·变量 = 变量在 p方向的投影与p长度乘积
=det（矩阵） = 变量 在高方向的投影* vw张成的底面面积
那么看到上面的等式，位置一一对应，就可知道，v×w = p这个矢量，且p为vw的公垂线，p的长度为底面面积（vw张成的）
（原始笔记，冗长）
由于行列式表示的就是那个平行六面体的体积，假如以v,w构成的平行四 边形为底，那么x,y,z向量对应的就是斜边，而左边是一个点积的形式，反映的是x,y,z在p上的投影，其实就是平行六面体的高，那么p对应的长度也就是其底面积的值，即v×w
整体思路概括：先定义由 [x,y,z]，v，w构成的矩阵的行列式 这一个函数，这个函数线性->可以考虑为一种（3维到1维）线性变换->对偶性竖起来为p->点积的几何意义（投影）->结合行列式几何意义->p即vw叉积
相似变换
可以直接看这里的理解，很清晰
本质上：（该表达借鉴了机器人学）
是把B坐标系下定义的线性变换（也就是M矩阵），给转换为A坐标系下的表达（相当于MB变为MA）
看过程：先把P（A坐标系）通过线性变换转为P（B坐标系），然后施加MB这个期望的线性变换，再用逆线性变换转为P（A坐标系）
（旧有的冗余笔记）
（我们讨论的所有基向量坐标都是基于1*1方格来说的）线性变换矩阵的列是变换后的基向量坐标，而被乘的向量，就是“被误解的”原坐标系下向量
基变换另一种理解：线性变换前后向量在不同基坐标系下的坐标是不变的，那么向量p从A坐标系变换到B坐标系，想用A描述B下p的坐标，那就用A->B的变换矩阵作用于p（在B下）的坐标
用“误解”解释更说得通
分解步骤理解“变换描述者”的语言
A^-1 M A转移作用，M表示上帝视角的线性变换，A是用来切换描述基的
先变换描述基，将别人的向量坐标用自己的坐标系描述，再在自己的描述下进行线性变换，再用前面加粗体的逆变换重新用别人的坐标系表示
特征向量即在线性变换后保持仍在其原方向（所在直线）上的向量
特征值就是它变换后的长度与之前之比（含方向）
如果只是把v向量延长λ倍，那其实等效于其所有hat都伸长为λ倍，以此获得矩阵λE（单位矩阵）
特征方程含义：将非零向量（即特征向量）压缩为零向量
不满秩->行列式为0->就可以得到λ
对于对角阵而言，特征向量就是每一列的基向量(自身在缩放)，特征值为对角元素值
（这里表达仍然借鉴了机器人学）
比如，要求MA的n次幂，那么可以用相似改变这个M的描述坐标系为B，而这个MB正好是对角阵（因为R的列向量正好为它的特征向量，对角阵很好求n次幂）
那么再左右都作n次幂，右边有矩阵*其逆抵消，最后就可以得到下面的结果，对角阵MB的n次幂就直接让里面每个数n次方即可，那么再做一次相似变换回去就得到MA的n次幂
（下面为旧的笔记）
（1）使用A-1MA这种转移作用，其中M是由A坐标系下的特征向量组成（此时此特征向量不一定是基向量，而这种操作也意味着将特征向量作为新基），那么得到的就是一个对角阵，利用对角阵做n次幂十分方便
（2）当然得保证特征向量能张成全空间，才可以使得矩阵对角化实现
保持加法&数乘运算
行列式可以理解为这个矩阵中列向量张成的area的广义体积（二维就是面积）
u = 【x，y】
u --A--> v
i_hat（【1，0】） --A--> i'_hat（A的首列）
j_hat（【0，1】） --A--> j'_hat（A的第二列）
如果要求Au = v的y，可以先求i_hat和u张成的面积，即为y，再看作用A变换之后的面积，（分母），即为A的i'_hat（首列），与v构成的面积，（分子），那y就得到了，x同理，高维同理
不改变点积->应用于解方程->变换前后与基向量的点积结果分别保持一致
Ax=v中|A| = 0的解释：
因为A行列式为0，那意味着降维，也就是基向量至少有2个互相成比例关系，表达维度之外的量v无法被表达，之内的就可能存在有至少一个向量会没用（因为与ta成比例的那个可以干他的活）
这里是相似变换！
