常微分方程（二）
前言：
本节介绍第二章：一阶常微分的初等解法.
有一说一其实笔者之前学过高数，所以对一阶常微分方程的解法中的分离变量和常数变异法这两种方法多少有点印象，本章除了介绍这两种方法外还介绍了一种积分因子法（针对全微分方程的）.
2.1变量分离方程与变量变换
2.1.1变量分离方程
变量分离方程：形如
（2.1）
称为变量分离方程，这里分别是关于x，y的连续函数.
如果，可将方程改写（即分离变量）为：
两边积分得：
（2.2）
此处常数c的取值必须要使（2.3）有意义.
【P.S. 需要注意，如果存在使得
，则直接验证
也是（2.1）的解，因此还必须寻求
的，当
不包括在方程（2.2）中时，必须补上特解
.】
（之前看到丁版ODE时也看到了这点，不过是以例题的方式出现的；而大一学同济版高数的时候没有这点，包括很多课后习题也没有提到）
2.1.2可化为变量分离方程的类型（变量代换）
2.1.2.1齐次微分方程
齐次微分方程：形如：
（2.3）
的方程称为齐次微分方程，这里为u的连续函数.
作变量代换
（2.4）
即，两边对x求导得：
（2.5）
（2.4）与（2.5）式代入（2.3）式整理得：
（2.6）
此时（2.6）式为一个变量分离方程，可用（2.2）式进行求解，之后再将（2.4）式代入所得解中的u即可
2.1.2.2 型
定义：形如：
（2.7）
的方程称为齐次微分方程，这里为u的连续函数.
作变量代换
（2.8）
即，两边对x求导得：
（2.9）
（2.8）与（2.9）式代入（2.7）式整理得：
（2.10）
此时（2.10）式为一个变量分离方程，可用（2.2）式进行求解，之后再将（2.8）式代入所得解中的u即可
2.1.2.3 型
定义：形如：
（2.11）
的方程称为齐次微分方程，这里为u的连续函数.
情形一：，则
，此时为齐次方程（2.3）.
情形二：不全为0，则讨论方程（2.11）右端分子分母的一次多项式：
即
（2.12）
对系数行列式分两种情况进行讨论：
（此处设，
）
（1），则由Cramer法则可解得
，其中
，
.
若令 ，则（2.12）式可化为：
即（2.11）式可化为： （2.13）
（2.13）式为齐次微分方程，求解代入原变量即可得方程（2.11）的解
（2），分以下三种情况
（i）时，（2.11）式变为
，而
时，（2.11）式变为
，二者均用（2.7）计算.
（ii）时，（2.11）式变为
，而
时，（2.11）式变为
，二者均为变量可分离方程（2.1）
（iii）时，令
，此时
，（2.11）式变为
.方程（2.17）化为
，属于变量分离方程（2.1）
2.2 线性微分方程与常数变易法
2.2.1 一阶线性微分方程
定义：形如：
（2.14）的方程称为一阶线性常微分方程，其中
在考虑的区间是x的连续函数.
若，则（2.14）式变为：
（2.15）
（2.15）称为一阶齐次线性微分方程.若，则（2.14）称为一阶非齐次线性微分方程方程.
2.2.2常数变易法
定义：将齐次微分方程中的常数c变易成待定函数.
解法：对于（2.15）式可用变量分离法解得其通解为 （2.16）
这里c是任意常数.现在讨论（2.14）式的通解，利用常数变易法，将任意常数c换成待定函数，得到（2.14）的形式求解，即：
（2.17）
对（2.17）式求导得：
即
积分后得：
（2.18）
（2.18）式代入（2.17）得通解为：
（2.19）
【P.S. 在同济版高数大家见过的都是如下形式：
它的通解为：
其实与（2.19）式一样的，将等式左边的移至右侧，得到
，便可以代入至（2.19）式进行求解，得到上面的通解，只是要注意这个差别】
2.2.3 Bernoulli微分方程
定义：形如：
（2.20）
解法：将（2.20）式两边同乘以，得：
（2.21）
设：
（2.22）
求导得：
（2.23）
代入（2.20）式得：
（2.24）
（2.24）式即可按一阶线性微分方程求解，然后再代回原变量得到（2.20）式的通解.
（P.S.S需要注意的是，n>0时还需考虑y=0的解）
（由于专栏投稿只让放100张图片，公式也算图片的，所以剩余部分包括整章感想将放到下一节去）
