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1．推理类几何题解题技巧：「相切法」

2．例题1：「方圆分割」题中的相切关系

3．例题2：高难度的空间想象题

4．例题3：「覆盖」类几何题的特点

5．例题4：学会「翻译」题干的叙述

6．例题5：「投影」题的理解关键

7．例题6：「视图」题不要有固定思维

8．例题7：圆与圆覆盖、相交的难题

9．例题8：勾股定理在等腰三角形中的应用

「数量关系」中的几何类题目有两类，一类数据非常简单，但需要通过思考找到隐藏的条件，才能解出正确答案，可称之为「推理类几何题」；另一类数据较为复杂，解题过程需要大量计算和对相关几何公式的掌握，可称之为「计算类几何题」。

本文讲的是「推理类几何题」的解题技巧。

一、推理类几何题解题技巧：「相切法」

行测中「推理类几何题」的类型千变万化，但说到底，绝大部分此类题目的解题关键有两点，即「相切」和「重合」，可简称为「相切法」。

在遇到此类题目时，直接考虑问题中两个几何体的「相切」「重合」情况即可。

为什么要直接考虑「相切」「重合」呢？因为「相切」「重合」意味着「极限」，即「到达某种极限后的数据」；而推理类几何题的问法都与「极限」有关，如体积最大、覆盖面积最广等，因此两者的问法是相同的。

个别「推理类几何题」和「相切」「重合」无关，接下来会单独讲述。

除了上述原因之外，还有一条隐藏的原因，即「行测的题目不能太难」。毕竟行测平均下来是不到一分钟做一道题，如果题目非常难，那很可能导致考生在这道题目上消耗大量时间，从而影响做其他题目的状态。

二、例题1：「方圆分割」题中的相切关系

【2018国考地市级卷64题／ 省级卷65题】将一块长24厘米、宽16厘米的木板分割成一个正方形和两个相同的圆形，其余部分弃去不用。

在弃去不用的部分面积最小的情况下，圆的半径为多少厘米？
（A）3√2 
（B）2√2 
（C）8 
（D）4

在弃去不用的部分面积最小的情况下，圆的半径为多少厘米？
（A）3√2 
（B）2√2 
（C）8 
（D）4

正确率24%，易错项B

列出题干数据关系：
①长方形24×16
②分割成1正方形、2相同圆形
③要求弃去部分最小，求圆半径

读题可知本题求的是「1正2圆分割长方形」，这种极限分割的题，一定和「相切」有关。

首先考虑正方形和长方形「相切」，也就是正方形边长=长方形短边长，前者完全和后者一部分重合，即长方形被分割出一个16×16的正方形，还余下一个8×16的长方形。

在余下的长方形部分，考虑圆形和长方形「相切」。由于题干要求2圆形相同，也就是要将余下的长方形切割成「长边长=2短边长」的样子，才能正好容纳2个直径=短边长的圆形。

题干余下的8×16长方形恰好符合「长边长=2短边长」的条件，即圆形直径=长方形短边长=8，则圆半径=4，D选项正确。

很多考生在做本题时会考虑正方形的各种情况，其实没必要想这么多。可以通过反推稍微思考下：如果正方形边长比16小，那么它填入长方形后就会留下一个长条状空间，且圆形无法有效填充长条，导致其「浪费」掉。因此，最符合题意要求的正方形边长一定和长方形短边相等，即所谓的「相切」。

有圆形和正方形的「填充、覆盖、分割」题一定和「相切」有关。

三、例题2：高难度的空间想象题

【2017国考省级卷74题】将一个棱长为整数的正方体零件切掉一个角，得到的截面是面积为的三角形，其棱长最小为：
（A）15
（B）10 
（C）8
（D）6

其棱长最小为：
（A）15
（B）10 
（C）8
（D）6

正确率19%，易错项B

已知要求的是「棱长最小」，也就是说切掉的角截面三角形「面积最大」。那么，在正方体上怎么切能切出截面最大来呢？

答案是尽可能往大切，一直切到「再大就超出一个角的范畴」为止，如下图所示。当截面三角形的三个点都位于正方体的三个顶点时（即两个面完全重合，可视作特殊的「相切」时），面积最大。再往大里切，切掉的就不只是「角」，而是「角+一部分边」了。

该三角形的三个边为正方体三个面的对角线，由正方体的特性可知三边相等。设其边长为a，根据勾股定理和三角形面积公式可得：
a×（√3/2）a÷2=100√3，
→a²=100×4
→a=20

又由于正方体的每个面都为正方形，已知正方形对角线长为20，根据勾股定理求得正方形边长为：
10√2≈10×1.41=14.1。

已知正方体边长为整数，所以其最小值为比14.1大的最小整数15，A选项正确。

虽然本题要素极为简单，后半部分计算也不难，但难度非常高，考生需要充分发挥自己的空间想象力。该题错误率超过八成，其原因就是很多考生难以想象出截面三角形「面积最大」时的情形。

可见，公考在数量关系题上并非以纯粹的难度拉开差距，而是对考生包括空间想象能力在内的各方面能力进行综合考察，看似简单的题也能难倒很多考生。

四、例题3：「覆盖」类几何题的特点

【2015国考地市级卷69题／省级卷69题】现要在一块长25公里、宽8公里的长方形区域内设置哨塔，每个哨塔的监视半径为5公里。

如果要求整个区域内的每个角落都能被监视到，则至少需要设置多少个哨塔？
（A）7
（B）6 
（C）5
（D）4

如果要求整个区域内的每个角落都能被监视到，则至少需要设置多少个哨塔？
（A）7
（B）6 
（C）5
（D）4

正确率41%，易错项B

列出题干数据关系：
①长方形：长25，宽8
②圆形：半径5
③用最少的圆形完全覆盖长方形

根据②可知圆形直径=5×2=10＞8，即「每个圆形都能覆盖一截长方形」。由于4个选项都很小，因此不需要代入公式，直接尝试逐个覆盖即可。

由左向右考虑。在长方形的左端，当两条边的交点位于圆上时覆盖面积最大，即：

在长方形的中间， 左右两个圆的圆弧和长边必须在一个交点上。如果长边在交点上方，则圆不能完全覆盖长方形；如果长边在交点下方，则圆浪费了面积，不能充分覆盖，即：

也就是说，无论从两端还是中间，每个圆形都可以覆盖同样长度的「一截」长方形，即：

也就是说，「一截」长6，总长25，因此需要圆形（哨塔）总个数为：
25÷6=4余1，向上取整结果为5，C选项正确。

公考中凡是涉及直线图形和曲线图形的「覆盖」的，一定和「共同交点」或者「相切」有关，关键是要理解「直曲图形覆盖」的特点。

五、例题4：学会「翻译」题干的叙述

【2014国考63题】一个立方体随意翻动，每次翻动朝上一面的颜色与翻动前都不同，那么这个立方体的颜色至少有几种？
（A）3
（B）4
（C）5
（D）6

一个立方体随意翻动，每次翻动朝上一面的颜色与翻动前都不同，那么这个立方体的颜色至少有几种？
（A）3
（B）4
（C）5
（D）6

正确率41%，易错项C

列出题干数据关系：
①立方体随意翻动
②翻动后颜色不同
③求颜色至少几种

本题是比较少见的和「相切」无关的推理类几何题，重点考察的是考生对题干描述的理解。

由①②可知立方体任意相邻2面颜色不同。
由③可知本题要尽量压缩颜色的种类，即在满足条件的情况下，尽可能增加每个颜色所占的面数。

想象一个空白立方体，设它的「上」面为甲颜色甲，则「前后左右」4个面都和甲面相邻，不能为甲颜色，但「下」面和「上」面相对，不相邻，根据③可以将其染成甲颜色。

同理，可设它的「前」面为乙颜色，则「上下左右」面不能为乙颜色，「后」面为乙颜色。
同理，可设它的「右」面为丙颜色，则「上下前后」面不能为丙颜色，「左」面为丙颜色。

因此本立方体上下为甲颜色、前后为乙颜色、左右为丙颜色，共有3种颜色，A选项正确。

这道题需要「翻译」，即将题干中「随意翻动、每次不同」的叙述理解成「任意相邻两面颜色不同」，这样就能够更方便解题了。本题误选C的考生，可能忽视了「至少有几种」的要求。

六、例题5：「投影」题的理解关键

【2013国考62题】阳光下，电线杆的影子投射在墙面及地面上，其中墙面部分的高度为1米，地面部分的长度为7米。甲身高1.8米，同一时刻在地面形成的影子长0.9米。

该电线杆的高度是多少？
（A）12米
（B）14米 
（C）15米 
（D）16米

该电线杆的高度是多少？
（A）12米
（B）14米 
（C）15米 
（D）16米

正确率59%，易错项B

列出题干数据关系：
①电线杆影子：地面7m，墙面1m
②甲1.8m，影子0.9m
③求电线杆高度

根据②可看出甲与其影子之比为1.8:0.9=2:1

根据①可得下图：

以地面和墙的重合点（即影子在地面部分和影子在墙上部分的交点）为分界，可将电线杆分为两个部分。

下边部分投影正好到墙边，符合「物体：影子=2:1」的要求，长度为7×2=14m。
上边部分投影正好到墙上，由于电线杆和墙面都垂直于地面，因此该部分和投影长度比为1:1，即为1m。

因此答案为14+1=15m，C选项正确。

本题的解题核心在于理解「投影到墙面」的含义，理解该部分两端和墙面影子两端可形成一个平行四边形，就很容易解出答案了。这道题重在理解，计算是毫无难度的。

七、例题6：「视图」题不要有固定思维

【2013国考75题】若干个相同的立方体摆在一起，前后左右视图都如下：

这堆立方体最少有多少个？
（A）4
（B）6
（C）8
（D）10

这堆立方体最少有多少个？
（A）4
（B）6
（C）8
（D）10

正确率23%，易错项B

观察本题可发现，前后左右视图相同，则中间2个摞在一起的方块必然是固定的。

从前后视图看，两侧方块可摆放位置如下：

从左右视图看，两侧方块可摆放位置如下：

综合前后视图、左右视图的要求，当两种情况「重合」时，符合题干「立方体数最少」的要求。此时方块的堆积方式有两种，如下：

「红+2深蓝」或「红+2浅蓝」组合皆可，因此这堆立方体最少有2+1+1=4个，A选项正确。

本题大部分考生误选了B，原因如下图：

红方块和正确答案一样为2块摞在一起，但蓝方块是单纯地把前后视图和左右视图进行了拼接，没有进一步简化，此时方块数为2+4×1=6，即为B选项。

本题利用了考生对「视图」的惯性思维，所以大一定要就题论题去做。

八、例题7：圆与圆覆盖、相交的难题

【2012国考75题】为了浇灌一个半径为10米的花坛，园艺师要在花坛布置若干个旋转喷头，但库房里只有浇灌半径为5米的喷头。

花坛里至少要布置几个这样的喷头才能保证每个角落都能浇灌到?　
（A）4
（B）7
（C）6
（D）9

花坛里至少要布置几个这样的喷头才能保证每个角落都能浇灌到?　
（A）4
（B）7
（C）6
（D）9

正确率41%，易错项C

列出题干数据关系：
①花坛半径10m
②喷头浇灌半径5m
③求布置多少个能保证都浇到

本题正确率不高，但这道题如果熟悉了就会发现其难度很低，是一道比较经典的和「覆盖」有关的题目。

可以发现，喷头想要尽可能高效地覆盖到花坛，就需要用每个喷头来覆盖住一段花坛圆边上部分。当覆盖面积最大时，喷头浇灌小圆的直径和圆上的弦重合，如下：

可发现大圆弦上两点和大圆圆心组成等边三角形，每个小圆覆盖60°的弧：

因此，需要6个小圆才能覆盖完整个大圆360°的圆弧。

同时，以大圆圆心为小圆圆心，在内部未覆盖部分画一个小圆，小圆半径恰好和外圈小圆与内圈小圆相交形成的弦相同：

结果如下图：

因此总共需要6+1=7个小圆，B选项正确。注意不要忘了中间部分还需要一个小圆。

关于圆和圆覆盖时相交的情况，只要理解了这道题，就基本掌握了这一类题。

九、例题8：勾股定理在等腰三角形中的应用

【2011国考75题】用一个平面将一个边长为1的正四面体切分为两个完全相同的部分，切面的最大面积为：
（A）1/4
（B）√2/4
（C）√3/4
（D）1/2

切面的最大面积为：
（A）1/4
（B）√2/4
（C）√3/4
（D）1/2

正确率45%，易错项C

本题既属于「推理类」也属于「计算类」，但推理难度不算太高，计算起来也不是很难。

正四面体即为4个面都为等边三角形的三棱锥。想要切为两个相同的部分，有两种切法。

第一种是「斜着劈」：

第二种是「直着切」：

看一眼发现「斜着劈」的截面大小和正四面体的三角形面下半部分的等腰梯形类似，而「直着切」的界面大小和正四面体的三角形面类似，因此「直着切」的截面面积较大。

「直着切」后，可发现截面三角形有以下关系：

根据勾股定理可求出由正三角形顶点至另一边的垂线（即该三角形的边）长为√3/2，也就是说该三角形的三边长分别为1、√3/2、√3/2，为等腰三角形。

可知长度为1的边为底时，高、1/2底、斜边组成一个直角三角形。根据勾股定理，得：
高²=斜边²-（1/2底）²
=（√3/2）²-（1/2）²
=3/4-1/4=1/2，即高=√2/2

截面面积为（1×√2/2）÷2=√2/4，B选项正确。

本题第一步很好做，甚至很多考生想不到还有「斜着劈」的切法，但第二段的计算略为复杂，需要熟练掌握勾股定理。一定要注意勾股定理在等腰三角形中的应用。