杨辉三角与完全平方公式

适合阅读等级：初中

在之前，我们学过完全平方公式：（a+b）²=a²+2ab+b²，这个公式有助于一些特殊的计算和解二次方程。但是，这个公式，绝不止这点内容，还有它的升级版：完全立方公式『（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³』，甚至完全N次方公式，这些公式有什么规律呢？，这就要谈到一个特殊的三角形

这个三角形是从上往下写的，除了边缘都为1以外，其它每个数都是其肩上两数之和，这样一点一点累积下来，就成了杨辉三角形。

杨辉三角形和完全平方公式有什么关系呢？

我们可以观察杨辉三角形第三层，即n=2，可以发现完全平方公式三项:a²,ab,b²的系数分别对应1,2,1。上文写过完全立方公式，其四项a³,a²b,ab²,b³，分别对应1,3,3,1。

也就是说，杨辉三角形第m层，就是（a+b）的m-1次方的展开式的各项系数。如第六层，n=5，则（a+b）^5的展开式各项系数为1,5,10,10,5,1

知道系数之后，我们就得讨论项的内容了

完全次方公式展开式的项/次数，有什么规律呢，给你五次方的范例，你就明白了

（a+b）^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5

可以清楚地发现，a从5次方一直降低到0次方（为1），b从0次方一直升到5次方，无论a为多少次方,b为多少次方，每一项的次数都是5。这便是完全次方公式的奥秘。

杨辉三角完美的体现了中国古代数形结合的思想。将繁杂难懂的公式转化为了简单明了的图形。类似于这种数形结合的还有勾股定理，勾股定理的证明也是十分有趣，从古至今凡是有名的数学家几乎都有自己的一套证法，这个我们以后再说。

那么给大家个习题：

计算：（5a+2b-c）³=?

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