【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep62】实数完备性第二波定理互推

我们在Ep61聊了实数完备性第三个定理——

闭区间套定理——

1. 闭区间套的无限序列——In=[an，bn]，n为正整数，满足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趋向于无穷大时——

则这些区间的公共部分为唯一的一点/一个数。

同时，我们介绍了如何从“单调有界原理”推导出“闭区间套定理”——

我们先证明了“单调有界原理”的一个推论作为“闭区间套定理”的引理：对数列{xn}和{yn}，如果满足以下条件——

1. 数列{xn}单调递增，数列{yn}单调递减；
   

2. xn<yn；

3. lim（yn-xn）=0，n趋向于无穷大时——

则数列{xn}和{yn}有公共极限c，即c=lim xn=lim yn。

然后结合“闭区间套”的定义证明了“闭区间套定理”——

1. 这个闭区间套的无限序列中，所有区间的左端点，构成一个单调递增数列a1<=a2<=……<=an<=an+1……，右端点构成一个单调递减数列，b1>=b2>=……>=bn>=bn+1……；

2. 由闭区间的定义可知，an<bn；

3. 已知：lim（an-bn）=0，n趋向于无穷大时；

4. 综合1、2、3和我们刚刚聊过的引理，存在数c使得c=lim an=lim bn，证毕。

今天我们就反过来，给出，由“闭区间套定理”反推“单调有界原理”的证明，即——

已知：

1. 闭区间套的无限序列——In=[an，bn]，n为正整数，满足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趋向于无穷大时——

则这些区间的公共部分为唯一的一点/一个数。

求证：单增有上界（单减有下界）数列必有极限。

提示：所有用到“闭区间套”定理的证明的关键步骤难点都在于构造一个闭区间套，也就是阐述清楚一个闭区间无限序列相邻两个闭区间之间的关系，而且往往用反证法。

分析——

先找到一个数x——

1. 首先明确已知条件，“闭区间套定理”是要用到的工具，一个单增有上界的数列是对象，证明的目的是找到一个数，这个数恰好是这个数列的极限，用构造“闭区间套无限序列”的方法；

2. 已知数列{xn}，对于任意n，满足xn<xn+1，且存在实数b，使得xn<b；

3. 我们取正整数k，令a1=xk=a，b1=b，得到第一个闭区间[a1，b1]；

4. 将[a1，b1]等分成两个闭区间，[a1，（a1+b1）/2]和[（a1+b1）/2，b1]——

   如果（a1+b1）/2是{xn}的上界，那么令a2=a1，b2=（a1+b1）/2，

   如果（a1+b1）/2不是{xn}的上界，那么令a2=（a1+b1）/2，b2=b1，

   得到第二个闭区间[a2，b2]；

5. 依次重复上述步骤……

6. 将[ak，bk]等分成两个闭区间，[ak，（ak+bk）/2]和[（ak+bk）/2，bk]——

   如果（ak+bk）/2是{xn}的上界，那么令ak+1=ak，bk+1=（ak+bk）/2，

   如果（ak+bk）/2不是{xn}的上界，那么令ak+1=（ak+bk）/2，bk+1=bk，

   得到第k+1个闭区间[ak+1，bk+1]；

7. ……

8. 将上述步骤无限进行下去，即得到一个闭区间套无限序列Im=[am，bm]，他们的拥有唯一公共点x。

再证明x=lim an=lim bn——反证法——

1. 假如x不是{an}的极限，即，存在E>0，对任意自然数n，|an-x|>=E；

2. 由x的构造可知，对于任意自然数n，an<=x<=bn；

3. 由1,2可知，存在E>0，对任意自然数n，|bn-an|>=|an-x|>=E；

4. 又lim|bn-an|=0，即对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N时，|bn-an|<ε；

5. 导出3,4矛盾，即x是{an}的极限；

6. 同理，x是{bn}的极限，x=lim an=lim bn得证。

下面要证明x即为数列{xn}的极限，即：对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N时，|xn-x|<ε——

1. 由闭区间的定义，对于任意m，有am<bm，取右边极限，令m趋向于无穷，有am<=lim bm=x；

2. 由闭区间的构造可知，对于任意自然数m，bm是{xn}的上界，即，对于任意m、n，xn<bm，取右边极限，令m趋向于无穷，有xn<=lim bm=x；——（我们取遍所有的n值，都有xn<=lim bm=x，所以这个不等式恒成立）；

3. 由于数列{xn}单调递增，所以对于任意m，存在N'，使得使得n>N'时，xn>xN'>=am；

4. 结合10、11，有对于任意m，存在N'，使得n>N'时，x>=xn>xN'>=am；

5. 又x=lim am，即，对于任意小数ε>0，存在自然数N"，当m>N"时，| am-x|<ε，即x-ε<am<x+ε；

6. 结合12、13，有对于任意小数ε>0，存在自然数N=max{N'，N"}，当m>N，n>N时，x+ε>x>=xn>xN'>=am>x-ε，即|xn-x|<ε，即x为数列{xn}的极限，证毕。

注意：在证明题中，“存在”是一个相对于“任意”更加宽泛的限制条件，我们只要能够找到一种方式，使题设条件成立即可。类似的，去思考这样一个问题，我们随机取一箱橘子，这箱橘子里面“任意取出一个都是坏的”和“存在一个坏橘子”哪一个在现实中发生的概率更大？“任意”和“存在”大概就是类似的关系。

今天就到这里。