数学初中竞赛几何题答案

解：如图所示

因为∠BEC+∠ABE=∠AOE，∠AEB=∠BEC。

则∆AOB的外角∠AOE=∠ABO+∠BAO，则∠BAO=∠BEC。

则可视为A，E，B，C在以BC为弦的一个圆上，

又因为∠AEB=∠ADB，则可视为A，E，D，B在以AB为弦的一个圆上。则A，E，B，C，D均在同一个圆上。

因为A，E，B，C，D在同一个圆上，则由圆的性质可得：

∠BCA=∠BDA，即∠BCP=∠ADP，又因为∠BPC=∠APD，则∆BPC~∆APD，则PC：PD＝BC：AD＝１：３，

同理可得∆OBC~∆OAD，则OC：OE＝BC：AE＝４：３√3

综上可得AD：AE＝４：√3，则因为AE＝EF，则

AD：（AE+EF）=2：√3，即AD：AF=2：√3。

因为∠AFD=90°，AD：AF=2：√3，则由可得∠DAF=30°，又因为A，E，B，C，D在同一个圆上，则弦DE所对的圆周角∠DAE=∠DBE=30°。

因为∠BOD=90°，∠OBD=30°，则∠ODB=60°

则OB：OD=√3：1，由上得到的∆OBC~∆OAD可知：

OB：OA=OC：OE＝BC：AE＝４：３√3

则可得OD：OA=4：9