用严谨的方法求出解析式

f(x)是定义在R上的函数，已知f(f(x)-3^x)=4，求f(x).有up号称“严谨”解出了这道题，但通篇除了瞪眼法没有什么逻辑，解出的也只是两个非常显然的解.那么，我们先求出满足该方程的所有解析式.

，求

f(x)=4的解集是解出这道题的关键，不妨设其为A，令g(x)=4-3^x，注意到若x∈A，则g(x)∈A，记g(A)={g(a)|a∈A}，即g(A)⊆A；若x∈R\A，则f(x)-3^x∈A且f(x)≠4.以上两个条件分别给出集合A的限制和f(x)在R\A上取值的限制，而f(x)由两者唯一确定，因此我们只需要找出所有满足该限制条件的集合A以及f(x)在R\A上的取法.

• 我们先给出A的构造方法，在此之前，先约定一些记号

记

(n∈N)

• 那么，任取R中的子集X，X生成的满足A的限制，并给出所有A的构造方法,因为∀x∈,g(x)∈，从而满足限制条件.任意集合A满足限制条件，取X=A，则A⊆，∀y∈，∃n∈N,x∈A，使得y=，递归地y∈A，⊆A，从而A=

• 下面讨论f(x)在R\A上的取值，由前面的讨论可知，取值需且只需满足f(x)-3^x∈A且f(x)≠4，因此，对每一个x∈R\A，任取∈A且≠g(x)，这里表示a是一个依赖于x的取值，f(x)=3^x+(x∈R\A)

由此,我们得到了方程的所有解：

f(x)=4,x∈A(A=,∀X⊆R)

       3^x+,x∈R\A(∀∈A且≠g(x))

• 接下来，我们再简单分析下连续函数解的性质

引理1：若序列{}⊆A，，则x∈A

证：由连续性，，x∈A

引理2：若(a,b)⊆R\A，a,b∈A，则(g(a),g(b))⊆A

证：=f(x)-3^x连续，，，由介值定理，(g(a),g(b))⊆，即(g(a),g(b))⊆A

引理3：若x∈R\A，x1,x2∈A且x1<x<x2，则g(x)∈A

证：令a=inf{y|y<x且(y,x)⊆R\A}，b=sup{y|y>x且(x,y)⊆R\A}，则(a,b)⊆R\A，由引理1，a,b∈A，由引理2，g(x)∈(g(a),g(b))⊆A

（以下证明中将多次使用引理3以及g(A)⊆A）

1.f(1)=4

若f(1)≠4，由x∈R\A时f(x)-3^x∈A知A非空，不妨设a∈A，a<1，则g(a)∈A，g(a)>1，由引理3，g(1)=1∈A，f(1)=4，矛盾，f(1)=4

2.a,b为g(g(x))最小、大零点，若a,b∈R\A，f(x)=3^x+1

若a,b∈R\A，∀x∈(-∞,a)∪(b,+∞)，x∈R\A，否则x<a<1(或1<b<x)，由引理3，b=g(a)∈A(或a=g(b)∈A)；∀x∈(a,1)∪(1,b)，x∈R\A，否则以x∈(a,1)为例，由图像知，若x∈(a,1)，g(g(x))∈(a,1)且g(g(x))<x，则，故若x∈(a,1)且x∈A，由引理1，a∈A，矛盾.综上，A={1}，从而f(x)=3^x+1

3.若a,b∈A，则[a,b]∈A

∀x∈(a,1)∪(1,b)，∃y∈(a,1)∪(1,b)，x=g(y)，由引理3，x∈A，故[a,b]∈A

由以上讨论可知，除f(x)=3^x+1外，其余连续函数解均在[a,b]上取4，A取R时，f(x)=4是一个平凡的解，此外，A取[a,b]时，f(x)也较容易表示，可以任取一个值域为[a,b]，a(a)=b，a(b)=a的连续函数a(x)，令f(x)=3^x+a(x),x∈(-∞,a)∪(b,+∞).其余的连续函数解的形式大多非常复杂，难以描述，在此不给出具体的构造，但是其数目是相当多的，绝不只某up经过“严谨”推导得出的两个平凡解.