前言：洛必达法则是非常重要的工具，它主要应对那些比较棘手的极限

类型A1：0/0

一、法则

二、例子

比如求

如果直接把3代入，我们会得到0/0的式子，这个时候我们可以使用洛必达法则。

对分子分母分别求导，我们会得到

然后再把3代入，就得到

这道题的另外一种解法就是因式分解，也可以得到相同的结果

类型A2：±∞/±∞

    对于±∞/±∞的情况，也可以使用洛必达法则，比如这道

    我们发现，把∞代入，就会得到±∞/±∞的情况，所以我们使用洛必达法则，对分子分母求导，得到

    

    当x->∞，7/4x会趋向于0，即

类型B1：(∞-∞）

    比如这道

我们发现，当x->0时，1/sinx和1/x都会趋向∞，也就是∞-∞这种形式。我们该怎么解决这个问题呢？

通分！

我们把这个式子进行通分，得到：

然后发现，把0代入得到0/0这个不定式，所以可以使用洛必达定则

对分子分母求导，得到：

读者：我到你这一步，怎么还是会得到0/0这个不定式，你骗银╰（‵□′）╯

如果遇到使用洛必达法则后还是和原来的结果一样，我们可以再使用一次洛必达法则，即：

到这里，我们不必再使用一次洛必达（不然会出现错误，因为不符合类型了）

代入得到

解题通法：遇到分式先通分，然后考虑是否能够使用洛必达法则；如果不是分式，那就让原有的式子再乘上除上其共轭表达式（比如[√(x+1)-√x]的共轭表达式是[√(x+1)+√x]）

类型B2：（0 × ±∞）

比如这道

为什么是右极限呢，因为对于这个式子而言，不存在所谓的左极限（原因就是ln x中的x只能大于0）

我们知道,当x->0(+), 式中的x->0, lnx->-∞。所以这个极限是0×-∞ 这个不等式。

我们如何处理？最好的方法就是把这个类型转换为类型A

特别的：

也就是

现在变成了-∞/∞型，满足类型A2，所以我们使用洛必达法则

代入，得到

类型C：（1^±∞，0^0或∞^0）

我称这个为指数类型，也就是这个类型的极限经常涉及到取对数然后最后取指数。怎么说呢，直接看例题：

比如这个

我们发现，x->0(+)时，式中x->0;sinx->0，属于0^0型

基本方法是先对这个式子取对数，即

根据对数运算法则，得到

在这里，当x->0(+)时，式中sinx->0; lnx->-∞，属于B2类型。但注意的是，我们在处理B2类型时，我们都是将B2转换为A类型的

幸运的是，有

所以代入，得到

于是转换为A类型了，使用洛必达法则，对分子分母进行求导，得到

化简，得到

这就是最终答案了

才怪！你还记得一开始我们做了什么？没错就是取对数，要想恢复就得逆过来：取指数

也就是

这就是最终结果了

骚年，来习题吗？

附录1：相关极限证明

我终于给出了一些极限的证明了(￣▽￣)"（拖的难受）

附录2：习题答案