波束成形(Beamforming)的数学推导(二)---从发射端看

(根据本文录制的小视频： https://www.bilibili.com/video/BV1qa411g7JG/）

在上一篇文章中，我们用浅显的语言，讲解了波束赋形的基本数学原理。在那篇文章中，我们是让所有的发射天线发送相同的信号，然后测量了在不同位置上接收天线接收到的信号的强度，结果是在垂直于发射天线阵列的方向上，信号强度最大。

那么，如何让指定方向上的接收天线能接收到最大强度的信号呢？一种很笨的方法，就是调整天线阵列的物理位置，使得垂直与发射天线阵列的方向，刚好指向接收者，虽然这个方法很笨，但是，可以方便我们理解后面的原理。实际上，从垂直与发射天线阵列的角度看，因为接收者在垂直方向，那么每个发射天线发射来的电磁波，都是以相同的相位抵达的，则刚好可以产生信号叠加的效果（没有信号相互抵消的），那么，在接收者不在垂直方向时，我们能否制造出来相同的效果：就是让每个发射天线发射来的电磁波，都是以相同相位的抵达接收天线？

如下图所示：

不在垂直方向上的接收者，接收不同发射天线来的电磁波，因为电磁波走的距离不同，从而造成了相位差异，那么，我们可以让天线上发出来的信号，提前把相位差异考虑进去，改变发射的信号，来抵消相位的差异。

我们用上一篇文章中的那个图来分析：

以第一根天线为基准，第一根天线上发射的信号是 S ( 复数，含有幅度和相位），那么第二根发射天线发出的信号，抵达接收者后，与第一根天线发射的信号抵达接收者之间的相位差是   ，所以，我们可以把第二根发射天线发出的信号，提前把相位抵消掉，在第一根天线的信号基础上，乘以  后，再从第二根发射天线上发射出去，同理，对第三根发射天线，把原始信号 S 乘以 后再从第三根发射天线上发射出去，以此类推，直到第 N 根发射天线，把原始信号 S 乘以  后再从第N根发射天线上发射出去.

从以上的分析可以看出，再指定的那个方位上，接收天线应该能接收到最大强度的信号。下面，用数学公式来分析一下。

N 根发射天线上发出的信号为：

在上一篇文章中，我们已经得出 ，若令  , 则 , 其中  是接收天线所在的方位角。

那么，在任意指定的方位角  上，从 N 根发射天线接收到的信号，由于无线电波走的路径长度有差异，导致空中传输的信号，有不同的相位延迟，延迟的相位分别为：

其中 $\psi =  \pi cos(\theta)$，由于我们是在频域做的分析，所以，相当与每个发射天线上发射出来的信号，被分别乘以：

则接收天线从每个发射天线接收到的信号分别为：

整理一下：

则接收天线最终收到的信号是对以上信号求和(额为除了个 N，只是为了能量归一化，不影响分析）：

对增益的部分做等比数列求和：

可以看出，当  时，信号的强度最大，也就是  时信号强度最大，这样就实现了在接收天线方位角  方向上，信号强度最大，实现了 “指哪儿打哪儿".

下面以   为例，让 ，在极坐标上画出来信号强度的图：

Python 代码如下：