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第 一 章 行列式

&6.行列式按行（列）展开

概念：

• 余子式：在n阶行列式中，把(i,j)元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元aij的余子式，记作Mij；

• 代数余子式：记Aij=Mij(-1)^(i+j),叫做(i,j)元aij的代数余子式。

定理：

• 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除(i,j)元aij外都为零，那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，记D=aijAij。

• 行列式按行（列）展开法则：行列式等于它任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

  
  

• 范德蒙德（Vandermonde）行列式

• 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即

&7.克莱默法则

定理：

• 克莱默法则：如果线性方程组的系数行列式不等于零，为

    ——那么方程有唯一解

• 如果线性方程组的系数行列式D≠0，方程一定有解，且解是唯一的；

  如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。

• 如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组没有非零解；

  若果齐次线性方程组由非零解，则它的系数行列式必为零。