【零基础学经济：平新乔十八讲阅读笔记Ep3】偏好关系六大公理的数学模型（接前篇）

老碧说过，在自学过程中，预习，学习，复习的作用应该是2/2/6或者1/3/6的比重进行。

（什么？你说我没说过？那我现在说过了。嘿嘿嘿~）

至于，为什么自学过程中会有预习部分？这三个部分如何具体操作？老碧以后会和大家慢慢分享。

我们按自学流程，先复习一下关键定义：

1.消费者的需求三要素：偏好，价格，收入

2.偏好——消费集（选择集）&偏好关系

3.价格+收入=预算集（可行性集）

4.需求：a偏好关系与预算集的公切线集；b在可分离而又有共切点时，消费集与预算集的产物。

5.消费集是一个n维向量构成的集合，偏好关系则是一个定义了序的集合。

6.消费集的定义和四个性质： 

书本定义：所有消费计划的集合，无论其能否实现。 

数学模型：一个非负n维向量集。 

（思路：因为是集合，所以必须描述清楚元素的性质。）

元素：一个n维向量。

（思路：因为是n维向量，所以要定义，每一个坐标的含义。）

坐标：对某一件商品的计划消费量。

所以理解了消费集究竟是什么，它描述的是，一个人打算购买n件商品所有组合的可能性。所以数学基础好的同学自然而然会和数学里的“线性规划”和“向量空间”产生联想。

而消费集的四条性质则可以用一个口诀背完：非空含0闭且凸。

因为非空，含0，闭集和凸函数的定义我们在《高等数学》里都学过了。所以理解起来也没那么难，书上所做的解释其实就是数学书上的解释。

注：记住X在书中表示消费集，x表示一个消费计划，后文再出现字母不要迷糊。

复习到此，下面我们继续聊“偏好关系”的六条公理：

如果你读过《实变函数/实分析》以及《抽象代数》的第一章，那么偏好关系部分的六条公理+两条推论，以及三个定义可以对照着之前熟悉的数学定义背下来，唯一的区别是，在经济学里面用的名词不一样： 

1.偏好关系的定义及数学模型：

书本定义：定义与消费集X中的一种二项关系。

注：“关系”以及“等价关系”是《抽象代数》第一节就会学的内容，并不十分难，只要记清楚例子与反例即可。“二项关系”具体是什么关系，由具体的问题和情境确定，比如说两点共线，或者，两线平行都可以构成“二项关系”。而这里的这种“二项关系”指的就是“至少一样好”，类似于数学“大于等于”的概念。

数学模型：定义在消费集中的序。 

偏好读法：A至少与B一样好。

2.前三条公理：完备性+反省性+传递性=偏好关系（定义1） 

偏好关系+双歧性（数学概念，一个集合中的元素必满足且仅仅满足两个条件中的一个，不会一个都不满足，不会同时满足）=严格偏好关系（定义2）

注：“偏好关系”恰好对应数学中的“半序集”的定义。 “严格偏好关系”对应“全序集”。

3.定义3：无差异关系，明显是存在一个元素，使得该集合既满足“偏好关系”，又不满足“严格偏好关系”，即“A至少与B一样好”和“B至少与A一样好”同时成立，这个时候称“A与B无差异”。

如果类比数学的“大于等于号”，就类似于“a大于等于b”且“b大于等于a”，此时“a等于b”。

注：不好打字，不过请一定牢记逻辑符号，以免考试读不懂题。 

4.公理四:连续性

书中定义：“至少一样好”集与“非优于”集都闭于非负n维实空间（这个术语我可能用错了，不过，暂时不太想翻数学书。以后再修正。）

注：这里涉及到n维连续性的概念，属于《点集拓扑》的内容，不过普通的“高数”或者“数学分析”教材会在n维函数连续性那里能够翻阅到。不算特别艰深的数学内容。

5.公理五：局部非厌足性+单调性，

a局部非厌足性

书中定义：任取一个元素a，都存在另一个元素b位于第一个元素a的去心邻域内，并且b严格优于a。

注：依然是《点集拓扑》的知识，可以复习多元函数中邻域的概念。

p.s:由此导出不存在“无差异区域”。直接可证得。

b单调性

书中定义：如果a大于等于b，则a与b至少一样好；如果a大于b，则a严格优于b。（定义类公理）

大于等于：a消费计划对应每种物品的数量至少与b一样多

大于：a消费计划对应每种物品的数量比b多

6公理六：凸性+严格凸性：直接就是凸函数的定义，可翻阅《高等数学》教材。与消费集的性质相呼应。

今天就先说到这里！