《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师
每做一次对换，奇偶性改变
余子式和代数余子式
拉普拉斯定理：
代数余子式的正负由被选中的元素的行序号和列序号之和来确定。如本题中选中了前两行和前两列，所以(-1)^(1+2+1+2)=1
行列式相乘：（只适用于同阶的行列式相乘）
类似于矩阵相乘(做题时用的不多)
特殊行列式的计算：
有字母的话，一般放分母，但要注意分母不为零。
范德蒙行列式：
反对称的奇数阶：D=0，偶数阶没有特殊性质。
对称阶没有相应性质。
齐次方程（方程个数等于未知数个数）有非零解的充要条件是 D=0（克莱姆法则在做题的时候很少用）
矩阵相等的前提是同型矩阵。
只有方阵才有主对角线和次对角线
若AB=AC，但B不一定等于C（无论A是否是零矩阵）
若AB有意义，则BA不一定有意义（不一定可以相乘）
若AB=BA，则A,B必须是同阶的方阵。
一般来说（AB）^K ≠ (BA)^K
本集提到的特殊矩阵都是方阵。
数量矩阵：aE（a为任意常数，可以为0）
虽然EA=AE，但等号两边的E的维数不一定相同，因为A不一定是方阵，这点要注意。
任何矩阵与对角型矩阵相乘的结果相当于用对角型矩阵每一行的对角元素乘以另一个矩阵的对应行
对称矩阵，A的转置等于本身。
定理1：
若A,B均为对称矩阵，那么AB也是对称矩阵的充要条件是A,B可交换（ AB=BA）
对于任意矩阵A，AAT和ATA都是对称矩阵。
证明对称矩阵的思路就是 矩阵的转置等于矩阵本身。
若A是对称矩阵，B为任意矩阵，那么BTAB也是对称矩阵。
反对称矩阵对角线元素全为0，且AT=-A（若A为反对称矩阵）。
（反）对称矩阵间的和差都是（反）对称矩阵，但乘积一般不是（反）对称矩阵。
矩阵没有除法，也不会放在分母上即没有1/A。
逆矩阵：A-1 * A = A * A-1= E
||A|A|=A^(n+1)
只有方阵才有逆矩阵和伴随矩阵。
按行求余子式，按列放。
对任意方阵A，都有A*A = AA* = |A|E（A*为伴随矩阵).
对于任意方阵都有伴随矩阵，但不一定有逆矩阵。如果|A|≠0，那么A的逆矩阵存在。
|A*| = |A|^(n-1)(|A|可以等于0)
前提：A为方阵。
若AB=E，则B是且唯一是A的逆矩阵。（A的逆矩阵是唯一的）
若|A|≠0，那么A存在逆矩阵。
若|A|≠0,则称矩阵A非奇异、非退化，满秩。
A-1 = A*/|A|
求逆矩阵的方法：
1、伴随矩阵法
A可逆，A的伴随矩阵也可逆。
|A|A-1 =A*
（A*）* =A |A|^(n-2)
除了从左往右第四个，其余全是标准型
标准型，对角线以外的元素为0
注意，子块必须满足矩阵相乘的条件。
本题用拉普拉斯定理来证明H可逆。
若A可逆，且AX=0,那么X为零矩阵（因为X=A-1 * 0=0）
矩阵的初等变换：
注意：A是方阵
任意矩阵可以通过初等变化变为标准型
初等变化包括行的变化和列的变化。
A经初等变化得到矩阵B，则A与B等价。
初等方阵：E做一次初等变换得到的矩阵。
初等方阵均可逆，其逆矩阵也是初等方阵，其转置也是初等方阵 。
下面的i,j都表示行标。
左乘初等方阵，相当于对A实施了同等的行变化，右乘初等方阵，相当于对A实施了同等的列变化。
做证明题时，左右乘初等方阵，证明等价很有用。
要注意A是否可逆：可以通过是否能化为标准型看出
任意矩阵（可以不是方针）都可以化为标准型
严格增加意味着必须越来越大，而不能出现相等（即只能大于，不能大于等于 ）
行简化阶梯型的定义：
初等变换不影响矩阵的秩。
矩阵的行秩等于列秩。
β是α的线性组合。
若k1a1 + k2a2 + k3a3.... = 0，且k1,k2,k3,,,不全为0，则称a1,a2,a3,,,线性相关
零向量可以由任意向量表示。
向量组中任一向量可由向量组（包括该向量在内）表示。
两个向量组等价：两个向量组中的向量可以相互由另一向量组的向量来表示。
- 向量组中两向量成比例，则线性相关。
- 含有零向量的向量组必定线性相关。
- 一个零向量必定线性相关。
- 一个非零向量必定线性无关。
- 若有一个向量α相关，那么α必定是零向量。
- 若α1,,,,αr相关，那么α1,,,,αs相关（s≥r，此处的下标指代向量的个数）
- 若α1,,,,αr无关，那么α1,,,,αs无关（s≤r，此处的下标指代向量的个数）
- 若某一向量组相关，那么减少它们的维数，它们也相关。
- 若某一向量组无关，那么增加它们的维数，它们也无关。
- n个n维向量，若D≠0，则无关，否则线性相关。
注意，“根据向量，竖着写！”
即 它们的线性组合也相互之间无关。
极大线性无关组可以不唯一。但任意两个极大线性无关组无关组所含的向量的个数相同。
全是零向量的向量组没有极大线性无关组。
任何一个向量组与它的极大线性无关组等价。
极大线性无关组之间相互等价，且所含向量个数相同。
向量组的秩：极大无关组含向量的个数。
向量组的秩小于min(向量个数，向量维数)
线性无关的充要条件：r=s(r为向量组的秩，s为向量的个数)
相关的充要条件：r<s
若两个向量组等价，那它们的秩相等。但是秩相等，向量组不一定等价。
行秩：行向量组的秩。
列秩：列向量组的秩。
矩阵的秩等于行秩也等于列秩。
r(AB) ≤min{r(A),r(B)}
初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系。
判断两个向量是否线性无关：看它们是否成比例。
化成行简化阶梯形
注意是所在的列作为极大无关组。
记得化简为行简化阶梯形，除了首非零元以外的未知数都是自由未知数。
齐次方程组一定有解。
齐次方程要么没有非零解，要么有无穷多个非零解，同时它一定有零解。
基础解系的个数：n - r (n是未知数个数，r是系数矩阵的秩)
λ 可以为 0， 但是特征向量（特征向量是列向量）α 为非零向量。（α称为对应于λ 的特征向量）
特征向量α只能对应一个特征值
注意，C2,C3不同时为0
注意，并不是说行列式等于对角线的乘积，而是指行列式的其中一项是对角线相乘。
K重特征根对应的线性无关的特征向量的个数不超过K。
Kλ是KA的特征值。
λ^n 是 A^n的特征值。
A,B有相同特征值， 但不能证明AB相似。
注意，该定理是“充要条件”
推论：如果A有n个互异的特征根，那么A一定相似于对角形。（但反过来不一定成立）
注意P = (α1,α2,α3,,,,), Λ=(λ1,λ2,λ3)，注意对应关系。
有几重特征根就有一个基础解系。
零向量和任何向量都正交。
和自身正交的向量一定是零向量。
正交向量组：组内的任意向量两两正交，且组内不含零向量。
一组线性无关的标准正交向量组，求与之等价的正交向量组。
再对β1，β2，β3，，，βs做标准化，即可得到标准正交向量组。
若AAT = E，则称A为正交矩阵。
若A是正交矩阵，那么AT，A^-1也是正交矩阵，且A^-1 = AT。
若A，B正交，那么AB也正交。
若A是正交矩阵，α和β都是列向量，那么
(Aα,Aβ) = (α, β)
例 ：证明A是正交矩阵。（图片中写错了， 没有“|A|=1”这个条件）
n阶实对称矩阵，它的特征向量的元素和特征根都是实数。
实对称矩阵的不同特征值的特征向量正交。
正交相似：P为正交矩阵（正交矩阵一定可逆）。
矩阵的对角化：
前提，A为n阶方阵，且有n个线性无关的特征向量。
实对称矩阵一定能正交对角化。
二次型矩阵一定对称。
根据矩阵转换成表达式，只需将对称位置上的系数想加。
合同：A,B均为方阵，若存在可逆矩阵C，使得CTAC=B，则称AB合同。
合同的性质：
A,B合同，则秩相等，且A的转置合同B的转置
A，B合同，则A是对称矩阵的充要条件是B也是对称矩阵。
A，B合同，且A，B均可逆，则A的逆和B的逆合同
前两个都是y1-y2,y1+y2,后面都是y3,y4,y5,,,
初等变换法例题：
任何二次型都可以化为标准型，也可以化为规范型。
标准型：除了对角线元素以外的元素为0
规范型：对角线元素必须先是一个或多个1，再是1个或多个-1,最后是1个或多个0，中间必须连续，不可中断。
先做列变换，再做相应的行变换。注意，做一次列变换和行变换之后，得到的一定是对称矩阵。
规范型矩阵的秩：-1和1的个数（其实也是该矩阵的秩）
正惯性指数：正项的个数
负惯性指数：负项的个数
符号差：正指数- 负指数
合同的充要条件：有相同的秩和相同的正（负）惯性指数
正交变换法：
此处的x是向量，x=(x1,x2,x3,,,)
假设A是n阶矩阵，正惯性指数是n
A与单位阵合同。
A正定的其中一个充要条件：A的各阶顺序主子式大于0
牢记A是二次型矩阵。
