（原）材料视角 | 新冠肺炎何以牵动人心（三）

2021-01-23 21:02 作者:青春材制 0人读过 | 我要投稿

初原载于工大材料汇 2020-03-24

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材料视角新冠肺炎系列科普

新冠肺炎何以牵动人心

武 / 汉 / 加 / 油，中 / 国 / 加 / 油

三

承上启下

上期我们讲到了病毒与人类之间的博弈。有小朋友就问了：“这疫情什么时候结束呀？”别着急，别着急，预测疫情这种事我们还是得交给科学家们。自疫情爆发以来，世界各地的学者发了大量的paper，其中就有做疫情传播模型的。

可能又有小朋友问了：“疫情传播模型是什么？”疫情传播模型就是将疫情传播看作数学模型，是传染病传播进行理论性定量的重要方法，他不仅是如何有效应对的重要参考，同时也能够预测疫情的走势比如疫情何时出现拐点、何时能被有效控制等等。传统的模型主要了利用了微分方程进行建模，而近来人们也在利用各种不同的数学工具比如复杂网格理论等等，让我们的传染病传播模型更加真实贴合实际。今天我就带大家翻阅一些网络上的paper具体来探讨一下疫情的未来走势。

微分方程建构模型

我们来介绍一下传统的利用微分方程建构的模型。

最简单的模型叫SI模型。首先模型把人群分为两种Susceptible（易感者）和The Infected（已感染者或称传染者）假设已感染者的人数为I，易感者感染者人数为S，人数总和为N，大家每天走来走去，每个人会碰到r个人，传染给健康者的概率为β。可以列出以下微分方程

解出来是个Logistic函数

有兴趣的可以自己整理一下，自己解一下这个微分方程，新大一的同学可以拿它当练习题，我知道你们应该已经学完了微分方程，不会解的人高数II重修去吧！连小学二年级的知识都没学好

函数不怎么直观，我们需要把函数画成图像才直观。当然我相信看到这么简单的Logistic函数，大家心里应该早就有图像了，但我怕有人想不出来，我勉为其难，画一个图像。

如下图：

红线是感染疾病的人数，蓝线是健康者人数，N为人群总数我初始设定为10人，I为初始感染者我设定为1人，R为每天接触的人数我设定为3人，感染概率B设定为0.2 ，最终在x=20.2天时所有人被感染，可见传播之快。

这个传染病模型假定人得了病不会好，目前类似于HIV或HBV之类的病毒就属于这种情况，感染后终生携带病毒。由于乙肝疫苗可以防治HBV病毒，模拟偏差比较大，我就来模拟一下全世界HIV病毒的感染情况。

假设全世界人口N=7,594,000,000人且维持不变，目前全球感染HIV人数为I=42,000,000人，每人每天接触R=1人，当然极少数精力旺盛的可能每天不止接触一人

我们不考虑在内，平均感染概率B=0.3%

结果如上图所示大约在9000-10000天左右曲线达到平行，世界上所有人基本都得了艾滋病，也就是约24.65-27.39年左右。所以赶紧珍惜当下的美好时光吧。人类没多少年了，大家还不赶紧去研究艾滋病的治疗方法自救？

当然这只是理想模型，它与现实有不小差距，比如单身的人感染率要小得多。

咱们继续建模，上面的SI模型只是科学家研究传染病最简单的模型，如果你感染的病还能治好，那就是SIS模型，意思就是人会在S（易感者）与I（感染者）之间反复横跳。比如感冒。图像画出来后感染者与易感者会达到一个类似化学反应的动态平衡，所以如果你还在问：“为什么经常感冒”这样的问题，那八成是你的《物理化学》没学好，可能重修科目要再加一门了！

上一篇文章最后我们也说过，有些疾病得完身体内就会一直有抗体，比如腮腺炎一类的疾病，我们可以加一个康复者The Recovered 我们用SIR模型来表示。

这一次病毒还具有潜伏者the Exposed，我们就加一个潜伏者身份，这个模型称为为SEIR模型。

我们可以假设已感染者的人数为I，易感者感染者人数为S，人数总和为N，感染新冠肺炎后，每个人每天会碰到r1个人，传染给健康者的概率为β1。其中设γ1为潜伏者转化为感染者概率，是平均潜伏期时长的倒数，根据文献资料我们设平均潜伏期为5.2，潜伏者也可以出去瞎逛。康复概率为γ2,为平均康复天数的倒数，由于卫健委说潜伏期也具有感染性我们设潜伏期每个人每天遇到r2个人，潜伏期传染性为β2，列出以下微分方程（同时N=S+E+I+R）

输入数据：假设有N=9,000,000人在武汉，初始感染人数I0=1人,r1= 5 ,β1= 20%,β2= 1%

r2= 20 γ1=20% γ2=10%

（由于该方程组没有解析解，我们直接用Matlab画出图像）

从图上我们可以看出大约是在疫情开始后的第30天疫情开始大规模爆发，大约在第54天感染者人数达到最多，往后的现存病例逐渐减少，约110天后疫情逐渐消散。武汉的第一例接诊病例是12月8日，根据模型推算，1月7日开始疫情大规模传播，1月31日感染人数达到顶峰，大约在3月27日左右疫情逐渐消散。而根据湖北目前现状（如下图），2月19日感染人数达到顶峰此后逐渐减少，截止3月2日湖北现存病例30366例

而湖北以外省份在2月10日感染人数就达到了顶峰，到现在新增病例基本上都是个位数。

但应当指出，该模型的模拟与实际差距还是很大的，确诊总是有一个滞后时间，而且模型里假定是每一阶段所有人感染概率相同，但实际上疫情爆发后很多人都宅在家里，患者也基本都被隔离，那么感染的概率就不可能相同。因此我增加了if条件句在（x>=46天）也就是1月23日武汉封城，市民减少出行，都戴口罩，传染概率和见面人数都降低至原来的50%，我们再看一下模拟数据，

结果非常amazing啊！即便是在疫情中心武汉全民采取措施后效果真是立竿见影，潜伏者数量在第46天后陡然下降。感染人数的最高峰也下降了小一半，这意味着武汉的各大医院能减少很多压力，能少开几个方舱，几个“小汤山”，民众的小举动却节省了很多资源。因此我们宅在家里减少外出，外出记着带上口罩，于国于己是多么的明智呀。

假如（x>=36天）武汉市在1月13日在确诊了几例后就发布数据提前发布通知提醒市民戴口罩，减少出行，那么疫情只会在武汉小规模爆发。（如下图）

假如（x>=26天）1月3日在武汉市政府封停了华南海鲜市场后对重点区域进行了紧急消毒，隔离了疑似病例，告诉民众出行带好口罩，

疫情根本就不会爆发！！！

是的，就在那20天的窗口期里，抓到了完全就可以控制疫情，如果没采取积极有效的措施宝贵的机会就彻底流失了。

就在17年前我国爆发了大型的SARS疫情，虽然影响人数有限，但是死亡率达到了惊人的9.6%是新冠肺炎的两倍。

当时的中国已经很久没有遇到过大型疫情了，经验也不足。SARS疫情最初在广东爆发，很快就席卷了我国南方和华北地区，其中北京市、台湾省、香港特别行政区、广东省的疫情十分严重，内蒙、山西、河北较为严重，我国其他地区疫情比较轻微。仅在北京市从2003年3月1日北京301医院接诊第一例开始到疫情结束后就累计确诊了2772例，死亡192例，是全世界感染人数最多的一座城市。即便是存活的人不少由于用了激素治疗，对人今后的生活影响也很大。SARS疫情开始时，人们不知道这是什么疾病，也不知道是病原体，病人转入302医院后更没做什么防护措施，直到北京的301医院和302医院出现了医生护士感染，人们才逐渐重视起来。最开始大家认为肺炎是衣原体引起的，可以用抗生素治好，可在广州的钟南山按衣原体的方法治疗发现无效。

事后证明引起SARS的也是一种冠状病毒。当时北京市政府行动滞后，卫生部长张文康在4月3日谎报疫情，他称北京市民不要恐慌北京市只有12例，而实际上当时仅在北京301医院非典患者就有46例。

17日北方交通大学（现北京交通大学）发现第一例非典，18日-20日出现群居性爆发，疫情的战火烧到了北京的部分高校，当时北方交通大学宣布进入“战时状态”，采取了对疫情爆发的源头——嘉苑学生公寓整体性封闭并征用了200个学生床位进行隔离，北京大中小学全面停课。4月20日官方报告北京市非典病例累计确诊339例是五天前报道的十倍多。那天之后北京市委副书记孟学农和卫生部张文康被接连撤职，疫情通报改为每天通报，国家紧急征用小汤山疗养院用时7天盖好了一家隔离医院，疫情防控逐渐步入正轨。

北京能够最终从非典危机中走出是天时地利人和的结果，在众志成城共同抗疫的共同努力下，好消息频传，很多人逐渐被治愈，随着夏季的到来气温明显升高，病毒肆虐程度显著收敛。6月24日在疫情爆发后将近四个月世卫组织宣布北京从疫区名单删除。

2002年11月16日至2003年7月13日，第一例SARS确诊的239天后，全球再也没有新增病例，一场来势汹汹的疫情就此结束，17年以来SARS病毒再也没有在人群中出现，如何杀灭突如其来的病毒？从古至今人类从不缺乏这方面的经验，没有人会怀疑我们最终能赢得这场和病毒之间的战争，只是如果疫情通报的更快一些，让医疗资源尽早集中；消息传播的更透明些，能够让感染者及早的隔离和救治；物资调配的更有效率一些，避免无谓的伤亡和赞歌。

那或许我们就不会赢的这么惨烈！！！

最后引用世卫组织的一句话：

We must remember that these are people, not numbers.

-----World Health Organization

愿全世界的每一个人都能够战胜疫情！武汉加油！中国加油！世界加油！

本期问题：

1.请简述作者SEIR模型中每个式子含义

Answer：

2.根据文章表述建立SIS模型列出其微分方程，求解出其通解并画出大致图像。（提示：假设已感染者的人数为I，易感者感染者人数为S，人数总和为N，大家每天走来走去，每个人会碰到r个人，传染给健康者的概率为β，传染者变成易感者概率为γ。）

Answer：N=S+I

简化整理成伯努利方程：

微分方程解得

画出图像其中绿线为易感者，红线为感染者。

3.根据文章表述试建立SIR模型，并列出微分方程。

Answer：我们可以假设已感染者的人数为I，易感者感染者人数为S，人数总和为N，感染新冠肺炎后，每个人每天会碰到r个人，传染给健康者的概率为β。康复概率为γ为平均康复天数的倒数，列出以下微分方程（同时N=S+I+R）

4.SEIR模型是没有死亡病例的，假设我们建立一个死亡者Died，疾病死亡率是4.5%，试建立一个SEIRD模型，并列出其微分方程。

Answer：我们可以假设已感染者的人数为I，易感者感染者人数为S，人数总和为N，感染新冠肺炎后，每个人每天会碰到r1个人，传染给健康者的概率为β1。其中设γ1为潜伏者转化为感染者概率，是平均潜伏期时长的倒数，潜伏者也可以出去瞎逛，潜伏期每个人每天遇到r2个人，潜伏期传染性为β2，γ2,为康复+死亡的概率，其中康复概率为95.5%γ2,，死亡概率4.5%γ2,，，列出以下微分方程（同时N=S+E+I+R+D）