大胆一点，能分就分（2018课标Ⅱ（文）导数）

2022-09-29 00:09 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2018课标Ⅱ文，21）已知函数 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%5E3-a%5Cleft(%20x%5E2%2Bx%2B1%20%5Cright)%20$ .

（1）若 $a%3D3$ ，求 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 的单调区间；

（2）证明： $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20$ 只有一个零点.

解：（1）若 $a%3D3$ ，

则 $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%5E3-3x%5E2-3x-3$ ，

$f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3Dx%5E2-6x-3$ ，

令 $f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D0$ ，解得

$x%3D3-2%5Csqrt%7B3%7D$ ，或 $x%3D3%2B2%5Csqrt%7B3%7D$ .

当 $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%20-%5Cinfty%20%2C3-2%5Csqrt%7B3%7D%20%5Cright)%20%7D$ ，

$f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3E0$ ， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cnearrow%7D$ ；

当 $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%203-2%5Csqrt%7B3%7D%2C3%2B2%5Csqrt%7B3%7D%20%5Cright)%20%7D$ ，

$f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3C0$ ， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Csearrow%20%7D$ ；

当 $x%5Cin%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft(%203%2B2%5Csqrt%7B3%7D%2C%2B%5Cinfty%20%5Cright)%20%7D$ ，

$f'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3E0$ ， $f%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cnearrow%20%7D$ ；

（2） $%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%5E3-a%5Cleft(%20x%5E2%2Bx%2B1%20%5Cright)%20%3D0$

等价于 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7Bx%5E2%2Bx%2B1%7D-3a%3D0%7D$ .

令 $g%5Cleft(%20x%20%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7Bx%5E2%2Bx%2B1%7D-3a$ ，则

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%5Ccolor%7Bred%7D%7Bg'%5Cleft(%20x%20%5Cright)%7D%20%26%3D%5Cfrac%7B3x%5E2%5Cleft(%20x%5E2%2Bx%2B1%20%5Cright)%20-x%5E3%5Cleft(%202x%2B1%20%5Cright)%7D%7B%5Cleft(%20x%5E2%2Bx%2B1%20%5Cright)%20%5E2%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7Bx%5E2%5Cleft(%20x%5E2%2B2x%2B3%20%5Cright)%7D%7B%5Cleft(%20x%5E2%2Bx%2B1%20%5Cright)%20%5E2%7D%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cgeqslant%200%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$