看到一道有趣的题目

今天在学习途中，看到一道有趣的题目，计算菲涅耳（Fresnel）积分，即：

证明方法选自《复变函数论》第四版，高等教育出版社

首先引出一个引理，泊松（Poisson）积分，即：

这个积分的证明不难，大略写一下：

下面我们来计算菲涅耳积分：

构造辅助函数，显然它为整函数（即它在整个z平面上解析）

考虑辅助积分路径：

其中，记半径为（充分大），弧段为，则：

然而：

由约尔当（Jordan）不等式：，则：

比较实虚部系数，则：