【数学基础22】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 收敛数列{an}极限为a，则an=a+ɑn，其中{ɑn}为一个无穷小；

2. 收敛数列必有界；

3. 有限个无穷小的和还是无穷小；

4. 有界数列乘以无穷小的积还是无穷小；

5. 设lim an=a，则lim（a1+a2+……+an）/n=a；

6. 设lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；

7. 设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；

8. 设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.

9. 矩阵乘法运算律——

   a.结合律：（AB）C=A（BC）

   b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

   c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

   d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A

   e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

   f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。

10. 矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。

11. 矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；

12. 设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

13. A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）

14. 方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A

    方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）
    

参考资料：

1. 《数学分析习题演练》（周民强 编著）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 汤家凤老师线代视频课

数学分析——

例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——

试判别下属数列{an}的有界性：{an}满足lim n（an+1-an）=+∞

解：由题设知——

1. lim  n（an+1-an）

   =lim[（a2-a1)+2（a3-a2)……+ n（an+1-an）]/n

   =lim[-（a1+a2+……+an）+nan+1]/n

   =-lim（a1+a2+……+an）/n+lim an+1

   =-lim an+lim an+1

   =+∞，故而{an}无界。

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

设p，q，r，s为任意向量，试证pxs，qxs，rxs共面.

证——

1. 若p，q，r，s中有一个是0，则pxs，qxs，rxs中至少有一个是零，结论成立；

2. 若p，q，r，s都不为0，

   若p，q，r中有一个与s平行，则pxs，qxs，rxs中至少有一个是零，结论成立；

   若p，q，r都不与s平行，则pxs，qxs，rxs都垂直于s，从而共面.

高等代数——

例题（来自：汤家凤老师线代视频课）——

a.方阵A可逆，A的i，j行成B矩阵，求AB^（-1）

解：

1. B=E（i，j）A

2. AB^（-1）=AA^（-1）E（i，j）^（-1）=E（i，j）^（-1）=E（i，j）.

b.方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵，求A*与B*的关系.

解：

1. B=E（i，j）A

2. B*

   =|B|B^（-1）

   =|E（i，j）A|A^（-1）E（i，j）^（-1）

   =-|A|A^（-1）E（i，j）^（-1）

   =-A*E（i，j）.

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