你真的喜欢数学吗（第七部分）
导数是微积分中的重要概念。在微积分中是非常重要的部分。
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量的极限。再一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来自于极限的四则运算法则。
导数的定义：
设函数f（x）在点xo的某个邻域N（xo，δ）内有定义，当自变量x在xo处有增量△x[设xo+△x∈N（xo，δ）]，函数y=f（x）相应的增量为△y=f（xo+△x）-f（xo）。
如果当△x→0时，函数的增量△y与自变量的增量△x之比的极限lim△y/△x=lim[f（xo+△x）-f（xo）]/△x存在，就称这个极限值为f（x）在xo处的导数或变化率，通常可以记为f′（xo）或f′（x）|x=xo。
函数的可导性与导函数：
一般地，假设一元函数y=f（x）在点xo的某个邻域N（xo，δ）内有定义，当自变量的增量△x=x-xo时，函数相应增量为△y=f（xo+△x）-f（xo），若函数增量△y与自变量增量△x之比当△x→0使得极限存在且有限，就说f（x）在xo点可导，并将这个极限称之为f在xo点的导数或变化率。
“点动成线”：若函数f在区间I的每一点都可导，就可以得到一个以I为定义域的新函数，记作f（x）′或y′，称之为f的导函数，我们简称为导数。
导数的几何意义：
函数f（x）在xo点的导数f′（xo）的几何意义：表示函数曲线在Po[xo，f（xo）]点的切线斜率。
导数在科学上的应用：
导数与物理、几何、代数关系密切，在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度，加速度。
导数亦名纪数、微商，是由速度变化问题和曲线的切线问题而抽象出来的数学概念，又称变化率。
导数是微积分中的重要概念：
导数另一个定义：当x=xo时，f′（xo）是一个确定的数。这样，当x变化时，f′（x）便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数，简称倒数：y′=f′（x）=lim△→0[f（x+△x）-f（x）/△x]。y=f（x）的导数有时也记作y′
需要注意的是：
1、f′（x）＜0是f（x）为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。
2、导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点，但导数为零。
求导数的方法：
1、利用定义求函数y=f（x）在xo处导数的步骤：（1）求函数的增量△y=f（xo+△x）-f（xo）。（2）求平均变化率。（3）取极限，求导数。
2、几种常见的导数公式：（1）C′=0（C为常数函数）。（2）（sinx）′=cosx。（3）（sinhx）′=coshx。
注意：上面的公式只能代函数，不可以带入常数函数。新学到熟的人往往忽略这一点，造成歧义，要多加注意。
导数公式及证明：
在推导的过程中有这几个常见的公式要用到：
1、y=f[g（x）]，y′=f′[g（x）]·g′（x）f′[g（x）]中g（x）看做整个变量，而g′（x）中把x看做变量。
2、y=u/v，y′=（u′v-uv′）/v²。
3、原函数与反函数导数关系：y=f（x）的反函数是x=g（y），则有y′=1/x′。
证明过程：
1、显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，∴处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义也是一样的：y=c，△y=c-c=0，lim△x→0△y/△x=0。
2、这个推到暂且不证，∵如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况，只能证其为整数Q。主要应用导数定义与N次方差公式。在得到
y=e**xy′=
e**x和
y=lnxy′=
1/x
这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
（后面省略N个字）
利用导数的符号判断函数的单调性：
一般地，在某个区间（a，b）内，如果f′（x）＞0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f′（x）＜0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减。如果在某个区间内恒有f′（x）=0，则f（x）是常数函数。
求函数单调区间的步骤：
（1）确定f（x）的定义域；（2）求导数f′（x）；（3）由f′（x）＞0或f′（x）＜0，解出x的相应范围。当f′（x）＞0时，f（x）在相应区间上是增函数；当f′（x）＜0时，f（x）在相应区间上是减函数。
函数极值的判定：
（1）如果在两侧符号相同，则不是f（x）的极值点。（2）如果在附近的左右符号不同，那么是极大值或极小值。
求函数极值的步骤：
（1）确定函数的定义域。（2）求导数。（3）在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程的所有实根。（4）检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个跟出去的极小值。
求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各级值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
导数在生活中的优化问题：
导数在生活中也可以发挥它的作用，生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称最值问题。解决这些问题具有非常现实的意义。这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为函数的最值问题。
高阶导数的求法：
1、直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数，一般用来寻找解题方法。
2、间接法：利用已知的高阶导数公式，通过四则运算，变量代换等方法。
中值定理：
函数与其导数是两个不同的函数，而导数只是反映函数在一点的局部特征，如果要了解函数在其定义域上的整体性态，微分中值定理就是这种作用。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是沟通到数值与函数值的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，同时又柯西中值定理还可以导出一个求极限的洛必达法则中值定理应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要形态。从而能把握住函数图像的各种几何特征。在极值问题上也有重要的实际应用。
第四十七章：统计
简单随机抽样：
一般地，设一个总体含有N个个体，如果通过逐个抽取的方法中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，则这样的抽样方法叫做简单随机抽样。
直接抽选法：
直接抽选法，即从总体中直接随机抽选样本。如从货架商品中随机抽取若干商品进行检验，从农货市场摊位中随意选择若干摊位进行调查或访问等。
抽签法：
先将总体中的所有个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上，号签可以用小球等制作，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌。抽签时，每次从中抽取1个号签，连续抽取几次，就得到一个容量为一定数量的样本。对个体编号时，也可以用这种方法。抽签法简单易行，当总体的个体数不多时，适宜采用这种办法。
随机数表法：
随机数表法，即利用随机数表作为工具进行抽样。是将0至9的10个数字排列成表，以备查用。横行、竖行、隔行读均无规律。因此，利用此表进行抽样，可保证随机原则的实现，并简化抽样步骤。其步骤：（1）确定总体范围，并编排单位号码。（2）确定样本容量。（3）抽选样本单位，即从随机数表的任意数码开始按一定顺序或间隔顺序读数，选取编号范围内的数码，超出范围、重复的数码不选，直至达到预定的样本容量为止。（4）排列中选数码并列举出相应的单位名称。
系统抽样：
系统抽样又叫等距抽样或机械抽样，是依据一定的抽样距离，从总体中抽取样本。要从容量N的总体中抽取容量为n样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先规定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽取方法。
由于系统抽样操作简便，实施起来不易出错，因而在生产现场人们乐于使用它。如在某道工序上定时去抽一件产品进行检验，就可以看作是系统抽样的一个例子。
系统抽样的步骤：
1、编号：先将总体的N个个体编号。
2、分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当N/n（n是样本容量）是整数时，取k=N/n。
3、确定第一个个体编号：在第一个用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）。
4、成样：按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第二个个体编号（l+k），再加上k得到第三个个体编号（l+2k），依次进行下去，直到获取整个样本。
分层抽样：
分层抽样，又称类型抽样，它是现将总体各单位按一定标准分成各种类型；然后根据各类型的单位数与总体单位数的比例，确定从各类型中抽取样本单位的数量；最后，按照随机原则从各类型中抽取样本。
频数分布简介：
频率分布， 是指在统计分组的基础上，将总体各单位按组归类整理，按一定顺序排列，形成的总体中各单位在各组间的分布。其实质是，在各组按排序的基础上，列出每个组的总体单位数，形成一个数列，称次数分布数列，简称分配数列，各组的总体单位叫次数或频数。一般用次数分布表和次数分布图来表示。
频率分布定义：
为了考察数据的分布情况，可以将数据按一定规则划分为若干小组，落在各小组内的数据的个数就叫做频数，每一小组的频数与数据总数的比值叫做频率。从频数或者频率的大小可以知道每个小范围内数据出现次数的多少，这就是频数分布。
反应一组数据的平均水平与波动大小的数字特征，可以用平均数、方差等，它们从某一项侧面反映了一组数据的情况 ，但是在实际生活当中，有时只知道这些情况还不够，还需要数据在整体上的分布情况。
频率分布表简说：
频率分布表亦称频数分布表，又称次数分布表，是一种统计学数表 。频率分布表指统计学中表示样本数据频率分布的表格。
频率分布表讲义：
对一组数据进行适当整理时，可以按照下面的步骤进行。
1、计算极差：找出数据中的最大值和最小值先对整个数据进行初步观察，找出一个尽可能小的数据，然后按顺序将全组数据过一遍，将每个数据与找出来的数据比较，如果前者更小，就用它来取代后者，并继续往下进行，从而获得其中的最小值、最大值。最大值-最小值=极差。
2、决定组距：将一批数据分组，一般数据越多，分的组数也越多，经验法则是：当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5——12组，组距是指每个小组的两个端点之间的距离。要说明，在分组的问题上，不是分这么多组就行，分那么多组就不行的问题，而是怎样分组更合适的一些问题。
3、决定分点。
4、列分布表：再根据频数累计的结果在表中填入相应的频数后，要将各频数相加，看看它们的和是否等于总个数，如果不相等，说明前面出了差错，需要进行检查。再根据各组的频数算出相应的频率之后，也要根据各自的频率之和是否等于回来检查求频率的计算过程是否有错。在列出频率分布表后，应指出，这时就可以知道这些数据在各个小组内所占的比的大小了。
频率分布直方图基本概念：
各组频率之和的值为1，在频率分布直方图中表现为所有矩形的面积之和等于1。各组的平均密度是指各组频率与组距的比值，是指该组内单位距离上的频率。以平均频率密度为纵坐标，取代频率分布直方图中的频率，所作的统计图称为平均频率密度直方图。平均频率密度直方图中所有的矩形面积之和为1。也就是平均频率密度直方图中所有矩形的顶边与中直方图两边界及横轴围成的图形的面积等于 1。当样本量不断增加而组距不断减小，每一处的平均密度就非常接近组中值处的频率密度，此时频率密度直方图的矩形顶边就非常接近一光滑曲线，该曲线就是频率密度曲线。简单来说：就是利用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图称为频率分布直方图，简称频率分布直方图。
数据分析：
众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标。
算数平均数：频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加。
加权平均数：加权平均数就是所有的频率乘以数值后的和相加。
中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标。
画直方图的步骤：
1、找出所有数据的最大值和最小值，并算出它们的差（极差）。
2、决定组距和组数。
3、确定分点。
4、将数据以表格的形式列出来（列出频率分布）。
5、画出频率直方图（横坐标为样本资料、纵坐标是样本频率除以组距）。
两个变量间的确定关系：
（1）函数关系：函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式。对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被唯一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系。
（2）正方形的边长与面积之间的关系：
引言：在学校里，老师经常对学生说过：“如果你的数学成绩好，那么你的物理成绩就没有什么大问题。”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一定的相关关系。这种说法有根据吗？
下面我们考察下列问题中两个变量间的关系：（2.1）商品销售收入与广告支出经费；（2.2）粮食产量和施肥量；（2.3）人的身高与年龄之间的关系；（2.4）降雪量与交通事故的发生率之间的关系。
这些问题中的两个变量之间的关系是函数关系吗？
上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系。
相关关系的概念：
如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系。
两个变量之间的关系的分类：
（1）确定性的函数关系，例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等。
（2）变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的相关关系。
（3）不相关，即两变量没有任何关系。
两个变量的线性相关：
引例：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获取了一组样本数据：
年龄 23 27 39 41 45 49
脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 26.3 28.2
年龄 50 53 54 56 57 58
脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2
年龄 60 61
脂肪 35.2 34.6
问题1：做出散点图，并指出上面的两个变量是正相关还是负相关？问题2：观察下面这两幅图，看看有什么特点？
发现：图1很乱，两个变量没有相关关系；图2呈上升趋势，图中点的分布呈条状，所有点都落在某一处置线的附近，这样由图2自然地得出线性相关、回归直线的概念。
回归直线的定义：
如果从散点图中的点的分布，从整体上看大致在一处直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。注意，概念的前提是点的分布在一条直线的附近。
探索回归直线的找法：
问题1：对一组具有线性相关关系的样本数据，你认为其回归直线是一条还是几条？
回归直线的条数只有一条。
问题2：回归直线与散点图中的各点的位置应具有怎样的关系？
两者整体上最接近。
问题3：那么在样本数据的散点图中，能否用直尺画出回归直线？
问题4：如果能求出回归直线方程，那么我们就可以比较清楚的了解年龄与体内脂肪含量的相关性。那么我们应当如何求出这个回归方程呢？
方案一：采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各店与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离和最小的位置，测出此时的斜率和截距，就是回归方程了。
方案二：在图中选两点作直线，使直线两侧的点的个数基本相同。
方案三：如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距，得回归直线方程。
问题5：以上方法是不是真的可行？为什么？
可行。整体上散点图中点到此直线的距离最小。
问题6：如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点到此直线的距离小？”
将点到直线的距离转化为自变量x取值一定时，纵坐标的偏差，这样自然引出下面求回归方程的方法。
问题7：结合以上分析，我们认为以“偏差”最小的直线作为回归直线比较恰当，那你能从“代数式”来刻画“从整体上看，各点到此直线的距离小”吗？
几何问题代数化，为下一步探究做好准备，经历“几何直观”转化为“代数表达”过程，为引出“最小二乘法”做准备。
假设我们已经得到两个具有线性相关关系的一组：（x1，y1），（x2，y2），……（xn，yn）。当自变量x取xi（1，2，……，n）时，可以得到y回归=bxi+a（1，2，……，n），它实际与收集到的yi之间的偏差是yi-y回归i-（bxi+a）（1，2，……，n）。
问题8：比较下列三个模型，哪个模型比较可行？
模型一：n到i=1（yi-y回归i）最小。模型二：n到i|yi-y回归i|最小。模型三：n到i（yi-y回归i）²最小。
模型一中（yi-y回归i）可能有正有负，互相抵消怎么办？一般会想到加绝对值。
模型二中|yi-y回归i|去绝对值比较困难，是否有其他的方法，可以类比方差的处理方法。
最终得出模型三比较可行。
利用最小二乘法推到回归系数公式：
问题9：通过上述问题的分析，我们可以知道用Q=n回归i=1（yi-回归yi）²=n回归i=1（yi-bxi-a）²最小来表示偏差最小，那么在这个式子中，当样本点的坐标（xi，yi）确定时，a，b等于多少，Q能取到最小值呢？
我们采用n个偏差的平方和Q=（y1-bx1-a）²+（y2-bx2-a）²+……+（yn-bxn-a）²表示n个点与相应直线在整体上的接近程度，记：Q=n回归i=1（yi-bxi-a）²。通过化简，得到的其实是关于a、b的二元二次函数求最值的问题，一定存在这样的a、b，使Q取到最小值。
在此基础上，视Q为b的二次函数时，根据有关数学原理分析，可求出使Q为最小值时的线性回归方程系数公式：{回归b=[n回归i=1（xi-x加权）（yi-y加权）/n回归i=1（xi-x加权）]²=
（n回归i=1）xiyi-nx加权y加权/（n回归i=1）xi²-nx加权²，回归a=加权y-回归b加权x。这样，回归方程的斜率为回归b，截距为回归a，即回归方程为y回归=b回归x+a回归。
（加权x，加权y）称为样本点的中心，可以证明回归直线一定过样本点的中心，∴可得回归a=加权y-回归b加权x。
最小二乘法：
通过这种上式的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法。
理解回归系数公式：
思考1：线性回归方程y回归=b回归x+a为何不记为y=bx+a？你能说明对于确定的x，根据y回归=b回归x+a计算出的y回归的意义吗？
y回归只是y的一个估计值
思考2：这个公式不要求记忆，但要会运用这个公式进行运算，那么，要求b回归，a回归的值，你会按怎样的顺序求呢？
由于这个公式比较复杂，因此在运用这个公式求b回归，a回归时，必须要有条理，先求什么，再求什么。比如，我们可以按照xiyi、n、加权x、加权y、n回归i=1xiyi、n回归i=1xi²顺序来求，再带入公式。
两个变量的线性相关讲义：
有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个买出的热饮杯与当天气温的对比表：
摄氏温度 -5 0 4 7 12 15
热饮杯数 156 150 132 128 130 116
摄氏温度 19 23 27 31 36
热饮杯数 104 89 93 76 54
（1）画出散点图；（2）从散点图中发现气温与热饮销售倍数之间关系的一般规律；（3）求回归方程；（4）如果某天的气温是2摄氏度，预测这天卖出的热饮杯数。
（2）从图中看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮的销售倍数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少
（3）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此利用公式1求出回归方程的系数。Y=-2.352x+147.767。
（4）当X=2时，Y=143.063，因此，某天的气温为2摄氏度时，这天大约可以买出143杯热饮。
事件、样本数据、回归直线方程的关系：
事件→样本数据：选取代表、抽样。样本数据→回归直线方程：决定。回归直线方程→事件：预测、统计意义上的反映。
第四十八章：统计案例
回归分析的定义和步骤：
回归分析是对于有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。其步骤：收集数据→做散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报。
线性回归模型与一次函数的不同：
一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式。
残差的定义：
样本值与回归值的差叫残差，即e回归i=yi-y回归i。
残差分析的定义：
通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。
如何建立残差图：
以残差为横坐标，以样本为编号，或身高数据，或体重估计值等为纵坐标，做出的图形称为残差图。观察残差图，如果参差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度较窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。
建立回归模型的基本步骤：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量。
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系。
（3）由经验确定回归线性方程类型。
（4）按一定规则估计回归方程类型。
（5）得出结果后分析残差图是否有异常，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。
总偏差平方和的定义：
所有单个样本值与样本均之差的平方和，即SST=n回归i=1（yi-y加权）²。
残差平方和的定义：
回归值与样本之差的平方和，即SST=n回归i=1（yi-y^i）²。
回归平方和的定义：
相应回归值与样本均值差的平方和，即SSR=n回归i=1（y^i-y加权）²。
相关指数的定义：
R²=1-[n回归i=1（yi-y^i）²/（y^i-y加权）²]。
非线性回归模型的方程的定义：
y=e**（bx+a）。
如何根据观测数据判断两变量的相关性：
根据滚测数据计算由K²=[n（ad-bc）²][（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）]给出的检验随机变量K²的值K，其值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。
当得到的观测数据a，b，c，d都不小于5时，可以通过查阅表格确定断言“X与Y有关系”的可信程度。
常用的临界值：
得到K²的观察值K常与以下几个临界值加以比较：如果k＞2.706，就有90%的把握，∵两分类变量X和Y是有关系。如果k＞3.841，就有95%的把握，∵两分类变量X和Y是有关系；如果k＞6.635，就有99%的把握，∵两分类变量X和Y是有关系；如果低于k≤2.706，就认为没有充分的证据说明变量X和Y是有关系。
第四十九章：走进线性代数
线性代数简介：
线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间，线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学中的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象函数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用与自然科学和社会科学中。
线性代数的概念：
线性数学是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系以及数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程，空间平面的方程是三元一次方程。而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。
所谓“线性”，指的就是如下的数学关系：f（x+y）=f（x）+f（y）。其中，f叫线性算子或线性映射。所谓“代数”指的就是用符号代替元素和运算，也就是说：我们不关心上面的x，y是实数还是函数，也不关心f是多项式还是微分，我们统一把它们都抽象成一个记号，或是一类矩阵。合在一起，线性代数研究的就是：满足线性关系f（x+y）=f（x）+f（y）的线性算子f都有哪几类，以及它们分别都有什么性质。
线性代数相关定理：
每一个线性空间都有一个基。
对一个n行n列的非零矩阵A，如果存在一个矩阵B使AB=BA=E（E是单位矩阵），则A为非奇异矩阵，B为A的逆阵。
矩阵非奇异当且仅当他的行列式不为零。
矩阵非奇异当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
解线性方程组的克拉默法则。
判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。
矩阵简说：
在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或是实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的矩阵，这一概念由19世纪英国数学家凯里首先提出。
矩阵的定义：
由m×n个数aij排成的m行×n列的数表称为m行×n列的矩阵，简称m×n矩阵。记作：
[a11 a12 …… a1n ]
[a21 a22 …… a2n ]
A= [a31 a32 …… a3n ]
[…… …… …… ]
[am1 am2 …… amn]
这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的（i，j） 元，以数aij为（i，j）元的矩阵可记为（aij）或 （aij）m×n，m×n矩阵A也记作Amn。
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。
矩阵的运算：
加法：矩阵的加法满足下列运算律（A，B，C都是同型矩阵）：A+B=B+A；（A+B）+C=A+（B+C）
减法：
[1 4 2] - [0 0 5]
[2 0 0] - [7 5 0]
=[1-0 4-0 2-5]
[2-7 0-5 0-0]
=[1 4 -3 ]
[-5 -5 0]
数乘：矩阵的数乘满足以下运算律：兰姆达（米尤A）=米尤（兰姆达A）；兰姆达（米尤A）=（兰姆达米尤）A；（兰姆达+米尤）A=兰姆达A+米尤A；兰姆达（A+B）=兰姆达A+兰姆达B。矩阵的加减法和矩阵的数乘合称矩阵的线性运算。
转置：把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵（A转置T），这一过程称为矩阵的转置。矩阵的转置满足以下运算律：（A转置T）转置T=A；（兰姆达A）转置T=兰姆达A转置T；（AB）转置T=B转置TA转置T。
共轭：就真的共轭定义为：（A）i，j=位值Ai，j。复数的矩阵共轭（实部不变，虚部取负）。
共轭转置：矩阵的共轭转置定义为（A*）i，j=位值Ai，j，也可以写为：A*=（位值A）转置T=位值A转置T或者写为A*H。
行列式的概念：
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det（A）或|A|。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中，行列式作为基本的数学工具，都有着重要的作用。
行列式可以看作是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
行列式的定义：
设
| a11 a12 … a1n |
D= | a21 a22 … a2n |
| … … … … … |
| an1 an2 … ann |
是由排列成n阶方阵形式的n²个数aij（i，j=1，2，……，n）确定的一个数，其值为n！项之和D=方阵Σka1k1a2k2……ankn式中k1，k2，……，kn次所得到的是一个序列，Σ，号表示对k1，k2，……kn取遍1，2，……，n的一切排列求和，那么数D称为n阶方阵对应的行列式。例如，四阶行列式是4！个形为（-1）转置a1转置1a2转置2a3转置3a4转置4的项的和，而其中a13a21a34a42相应于k=3，即该项前端的符号应为（-1）³。
若n阶方阵A=（aij），则A相应的行列式D记作D=|A|detA=det（aij）。
若矩阵A相应的行列式D=0，称A为奇异矩阵。
标号集：序列1，2，……，n中任取k个元素i1，i2，……，ik满足1≤i1≤i2≤……≤ik≤n（1）
i1，i2，……，ik构成{1，2，……，n} 的一个具有k个元素的子列，{1，2，……，n} 的具有k个元素的满足（1）的子列的全体记作C（n，k），显然C（n，k）共有C（k，n）个子列。因此，C（n，k）是具有一个元素的标号集。C（n，k）的元素记作西格玛，τ，……，西格玛∈C（n，k），则西格玛=τ表示i1=j1，i2=j2，……，ik=jk。
行列式的性质：
（1）行列式A中的某行（或列）用同一数k乘，其结果等于kA。
（2）行列式A等于其转置行列式A转置T（A转置T的第i行为A的第i列）。
（3）若n阶行列式|aij|中的某行（或列）；行列式则|aij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行（或列），一个是b1，b2，……，bn；另一个是c1，c2，……，cn；其余各行（或列）上的元与|aij|的完全一样。
（4）行列式A中两行（或列）互换，其结果等于-A。
（5）把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。
行列式的算法：
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法之一。∵利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式的性质将行列式化为三角形计算。
原则上，每个行列式都可利用行列式的性质转化为三角形行列式。但对于阶数较高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其转化为三角形行列式。
线性方程组：
线性方程组是数学方程组的一种，它符合以下形式：
a1，1x1+a1，2x2+……+a1，nxn=b1
a2，1x2+a2，2x2+……+a2，nxn=b2
……
am，1x1+am，2x2+……+am，nxn=bm
其中的a1，1，a1，2以及b1，b2等等是已知数的常数，而x1，x2等等则是要求的未知数。
如果用线性代数中的概念来表达，则线性方程组可以写成：Ax=b。这里的A是m×n矩阵，x是含有n个元素列向量，b是含有m个元素列向量。
[a1，1 a1，2 … a1， n]
A= [a2，1 a2，2 … a2， n] ，
[… … … … ]
[am，1 am，2 …… am，n]
[x1] [b1]
X= [ x2] ， b=[b2]
[x……] [b3]
[ xn] [b4]
这是线性方程组的另一种记录方法。在已知矩阵A和向量b的情况求得未知向量x是线性代数的基本问题之一。
线性方程组举例：
以下是一个由两个方程构成的线性方程组：3x1+5x2=4，x1+2x2=1。方程组中有两个未知数。以矩阵表示，这个方程组可以记录为：
[3 5 4]
[1 2 1]
这个线性方程组有一组解：x1=3，x2=-1。可以直接验证：3×3+5×（-1）=4，3+2×（-1）=1。
可以证明，这组解也是方程组唯一的解。
不是所有的线性方程组都有解。以下是一个没有解的例子：x1+x2=2，2x1+2x2=1。
显然，如果有x1和x2满足了第一行的式子的话，它们的和等于2。而第二行则要求它们的和等于0.5，这不可能。
也有的线性方程组又不止一组解，例如x1+x2=2。
x1=1，x2=1是一组解，而x1=3，x2=-1也是一组解。事实上，解得个数有无限个。
判断线性方程组是否有解：
当方程个数＜未知数个数时，线性方程组有无限个解。当方程个数=未知数个数^至少有两个方程的每个系数扩大（缩小）相同倍（倍数）时，线性方程组没有解。当方程个数=未知数个数^所有方程的每个系数扩大（缩小）都不相同的倍（倍数）时，线性方程组有唯一解。
线性方程组的解法：
消元法：此法最为简单，直接消掉只剩最后一个未知数，再回代求余下的未知数，但只适用于未知数个数等与方程的个数，且有解的情况。
克莱姆法则：如果行列式不为零，则用常数向量替换系数行列式中的每一行再除以系数行列式，就是解。
逆矩阵法：同样要求系数矩阵可逆，直接建立Ax=b与线性方程组的关系，X=A**-1。b就是解。
其次方程和非其次方程的区别：
齐次方程指等号右边为0（等号左边的每一项显含y或其导数），非齐次方程指等号右边为x的函数f（x）。
线性方程组通解的求法：
高斯消元法：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。
LU分解法：求线性代数方程组的通解除了高斯消元法外，还有LU分解法（三角形分解法）。LU分解法的优点是当方程组左端系数矩阵不变，仅仅是方程组右端列向量改变，即外加激励信号变化时，能够方便的求出线性方程组的通解。
非齐次线性方程组的特解的求法：
把非齐次线性方程组的增广矩阵作初等行变换化成最简形，就可以得到原方程组同解的方程组。非齐次线性方程组的所谓特解就是非齐次线性方程组的一个不含任意常数的解向量，因此，在同解方程组中确定了自由变量任意取一组值代入，注意的是自由变量可以任意取值！但是让自由变量全取0是最简单的也不容易出错，∴通常在原方程组的通解方程组中让自由变量全取0找到一个特解。
线性方程组的秩：
首先你认认真真化简一下B，看看它的秩是不是3，这个B表示的是A要变成那个矩阵C（我直接编一个字母，你应该知道的是哪一个矩阵），中间所要经过的变换，这你也是明白的。
但是！我上面写了变换，没写出初等变换，∵B的秩不满秩，∴B不是初等方阵，但是A可以是由一系列初等变换变成了C，这显然有rank（C）=rand（B）了呀。
第五十章、微积分大揭秘
微积分简介：
微积分，数学概念，是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分的基本概念包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词。一提数学分析就知道是指微积分。
定积分定义：
设一元函数y=f（x）在区间（a，b）内有定义，将区间（a，b）分成n个小区间（a，x0）（x0，x1）（x1，x2）……（xi，xb）。设xi=xi-x（i-1），取区间△xi中曲线上任意一点记作f（ξi），作和式。
若记兰姆达为这些小区间的最长者。当兰姆达→0时，若此和式的极限存在，则称这个和式是函数f（x）在区间下的定积分。
不定积分定义：
设F（x）是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数），叫做函数的不定积分，即从不定到积分f（x）dx=F（x）+C。
微分的定义：
由函数B=f（A）得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫做函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数的改变量的线性主要部分，微积分的基本概念之一。
基本微积分计算公式：
dx^n=nx^（x-1）dx；dsinx=cosdx；dcosx=-sinxdx；dtanx=-（secx）^2dx；dcotx=-（cscx） ^2dx；dlogax=1/xinadx；da^x=a^xinadx；de^x=e^xdx；dlnx=1/xdx。
微分运算公式：
d（kf）=kdf；d（f+g）=df+dg；d（f-g）=df-dg；d（f*g）=dgf+fdg；d（f/g）=（gdf-fdg）/g^2。
积分运算公式：
积分实质就是已知导数，求原函数，相对而言这相当难，而且答案不止一个。
特征方程：
特征方程是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，包括数列特征方程、矩阵特征方程、微分特征方程、积分特征方程等等。
方程的单根和重根：
单根就是只有一个跟符合题目要求，重根就是有两个相同的根。
数列特征方程的推导：
一个数列xn+2=c1xn+1+c2xn，设有r，s使xn+2-rxn+1=s(xn+1-rxn)，∴xn+2=(s+r)xn+1-srxn，得c2=-sr，消去s就导出特征方程式r²=c1r+c2。
用特征方程算数列的通项公式：
A（n+2）=p（A）+qAn，p，q为常数。（1）通常设 A（n+2）-mA（n+1）=k[A（n+1）-mAn]，则m+k=q，mk=-q。（2）特征根法：特征方程是y²=py+q（*）。注意：mn为*两根。mn可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算。
求通项的特征方程遇到虚根怎么办：
如果前两项都是1时，这个是fibonacci数列。
可以用矩阵的方法来求解，∵相邻两项间的变化矩阵是相同的，你只需要计算2×2的矩阵连乘即可。
特征值和特征向量怎么求：
根据n阶矩阵A的定义可改写为关系式（兰姆达E-A）x=0，E为单位矩阵，要求向量x具有非零解，即求齐次线性方程组（兰姆达E-A）x=0，有非零解的值兰姆达，即要求行列式det（兰姆达E-A）=0。
借此行列式获得的兰姆达值即为矩阵A的特征值。将此值回代入原始求得相应的x，即为输入这个行列式的特征向量。
矩阵方程的解法：
设方程的系数矩阵为A，未知数矩阵为X，常数矩阵为B，即AX=B，求X，则等式两边同时乘A^（-1），有X=A^（-1）B。又∵（A，E）——（E，A^（-1）），∴可以求A^（-1），从而所有未知数都求出来了。
微分方程定义：
形如dy/dx+P（x）y=Q（x）（记为式1）的方程成为一阶线性微分方程。其特点是它关于未知函数y及其一阶导数是一次方程。这里假设P（x），Q（x）是x的连续函数。
若Q（x）=0，式1变为dy/dx+P（x）y=0（记为式2）称为一阶齐次线性方程。
如果Q（x）不恒为0，式1称为一阶非齐次线性方程，式2也称为对应于式1的齐次线性方程。
式2是变量分离方程，它的通解为y=Ce分离到P（x）dx，这里C是任意常数。
微分方程的通解求法：
一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。
对于一阶其次线性微分方程：dy/dx+P（x）y=0其通解形式为：y=Ce∫P（x）dx，其中C为常数，由函数的初始条件决定。
对于一阶非齐次线性微分方程：dy/dx+P（x）y=Q（x）其对应齐次方程dy/dx+P（x）y=0，解为y=Ce∫P（x）dx，令C=u（X），得y=u（x）e∫P（x）dx。代入原方程得：u′（x）=Q（x）/e∫P（x）dx。对u′（X）积分得u（x）并带入其通解形式为：y=Ce∫P（x）dx+Ce∫P（x）∫Q（x）e∫P（x）dxdx。
其中C为常数，由函数的初始条件决定。
注意到，上式右端的第一项是对应的其次线性方程式（式2）的通解，第二项是非齐次线性方程式（式1）的一个特解。由此可知，一阶齐次线性方程的通解等于对应的其次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和。
积分方程定义：
积分方程即为关于未知函数θ（x）的积分方程。形式为：f（x）=a∫bK（x）斐（t）dt。f（t）=a∫tK（t，s）x（s）ds。
替换为求积和式的积分方程求解方法：
在求解积分方程的数值方法理论中，研究如下典型问题，寻找几个积分方程的解：第一个Gy=a∫bK（x，s）y（s）ds=f（x），y-兰姆达a∫bK（x，s）y（s）ds=f（x），Gy=a∫xK（x，s）y（s）ds=f（x），y-兰姆达Gy=y-兰姆达a∫xK（x，s）y（s）ds=f（x），以及特征值问题Gu=兰姆达u的解，在最后的问题中要找数兰姆达使得问题具有非零解。
第五十章：一元三次方程初步
一元三次方程简介：
只含有一个未知数，未知数最高为3的整式方程叫做一元三次方程，标准形式为ax³+bx²+cx+d=0（a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡单公式法和盛金公式法。
一元三次方程的一般解法：
对于一般的一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0（a≠0），上式除以a，并设x=y-b/3a，则可转化为如下形式：y³+py+q=0（1），其中p=（3ac-b²）/3a²，q=（27a²-9abc+2b³）/27a³。
（1）式的根为：y1=3次方根[-q/2+根号△]+3次方根[-q/2-根号△]；
y2=欧米茄3次方根[-q/2+根号△]+欧米茄²3次方根[-q/2-根号△]；
y3=欧米茄²3次方根[-q/2+根号△]+欧米茄3次方根[-q/2-根号△]；
其中欧米茄=（-1+根号3i）/2，△=（q/2）²+（p/3）³为根的判别式。
当△＞0，有3个不同的实根；当△=0，有2个相同的实根和1个复根；当△＜0，有1个实根和2个不同的复根。
有理根三次因式分解：
在分解三次因式时，要把它分解成一次二项式和二次三项式相乘的形式，这就需要用到多项式除以多项式。用原式除以一个代数式，如果没有余式，则说明这个因式能分解，而找到的这个余式在用因式分解法解一元三次方程时，这个代数式就是有理根。
因式分解法解一元三次方程：
因式分解法解一元三次方程的前提是等号左边能因式分解，右边为0。第一步从三次降到二次，就用上面所说的有理根来因式分解，分解成一个一次二项式和二次三项式相乘的形式，这就完成一元三次方程的分解了，接下来二次降到一次，先解出一次二项式作为一个实根，在对另一个二次三项式降次，也就是一元二次方程的因式分解，解出另外两个实根（或复根）。
一元三次方程根与系数的关系：
x1+x2+x3=-（b/a），1/x1+1/x2+1/x3=-（c/d），x1x2x3=-（d/a）
为什么我们不学一元三次方程：
第一是解一元三次方程难度非常大，第二是计算量非常大，远远大于一元二次方程，超出了我们学习数学的思维的限度。
一元三次方程与实际问题发明的猜想：
如果所有数学家都能轻而易举地精通一元三次方程的解法，可能会有额外的思维去想如何发明一元三次方程与实际问题；否则这个问题可能甚至永久免谈。
