你真的喜欢数学吗（第六部分）

之间建立联系。

        你能发现逻辑联结词“或”和集合的“并”运算的规定在形式上的一致性吗？

        对与集合的“并”有如下规定：若a∈P或a∈Q，则a∈P∪Q；若a∉P且a∉Q，则a∉P∪Q。把命题p、q分别对应于集合P、Q，“真”“假”V"分别对应于“∈”“∉“∪”，那么上述关于“或”与“并”的规定就具有形式的一致性。具体地说，就是“p真命题”对应于“a∈P”，“q是真命题”对应于“a∈Q”，“pVq是真命题”对应于“a∈P∈Q”，“pVq是假命题”对应于“a∉P∪Q”。

        逻辑联结词“非”和集合的“补”又有什么关系呢？

        再看一个具体的例子。

        若以正数集为全集，则偶数集和奇数集互为补集，由“2是偶数”是真命题，可以得到“2是奇数”是假命题；由“3是偶数”是假命题，“3是奇数”是真命题。用集合的方式则可表达为：由2∈{偶数}，可以得到2∉{奇数}；由3∉{偶数}，可以得到3∈{奇数}。如果把“非“真”“假”分别对应于“补”“∈”“∉”，那么，命题p和它的否定非p可以对应于集合P和它的补集CuP，“p是真命题”对应于“a∈P”，“p的否定是假命题”对应于“a∉CuP”，“P是假命题”对应于“a∉P”，“p的否定是真命题”对应于“a∈CuP”。

        对于集合的“补”有如下规定：设U为全集，P是U的子集，若a∈P，则a∉CuP；若a∉P，则a∈CuP。

        类比“且”与“交”的联系，并结合上述例子，你能建立逻辑联结词“非”与集合的“补”运算之间的对应关系吗？

        对“非”的理解，可以回想集合中“补集”的概念，“非”有否定的意思，一个命题p经过联结词“非”而构成一个新命“非p”，若将命题p对应于集合P，则命题“非p”就对应集合P在全集U中的补集CuP。

        从上述讨论可以发现：命题与集合之间可以建立对应关系。在这样的对应下，逻辑联结词与集合度运算具有一致性，命题的“且”“或”“非”恰好分别对应集合的“交”“并”“补”。因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。

                            第四十章：数制、逻辑运算和逻辑函数

数制简介：

        数制，也称为计数制，是一组用固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。任何一个数值都包含两个基本要素：基数和位权。

        “量”才是本质，数只是“量”在某个特定的符号系统中指称，一个量可以在许多的种符号系统中表示出来，符号只是指称。

        我们最常见的运算是十进制，角度是六十进制，计算机里有二进制运算、八进制运算、十进制运算、十六进制运算（这里的基数应该用汉字表示，而不该用数字表示）。

        不同数制之间可以进行转换。

数码：

        树脂中表示的是基本数值大小的不同数字符号，例如，十进制有10个数码：1、2、3、4、5、6、7、8、9。

计数规则：

        在人们使用最多的进位计数制中，表示数的符号在不同的位置上所代表的数值是不同的。

位权：

        数制中某一位上的1所表示数值的大小（所处的价值）。例如，十进制的123，1的位权是100，2的位权是10，3的位权是1。二进制中的1011（一般从左到右开始），第一个1的位权是8，0的位权是4，第二个1的位权是2，第三个1的位权是1。如果数值是小数则同理。

数制符号：

        二进制：B    八进制：O    十进制：D    十六进制：H

进位制的描述：

        在人们日常生活中最熟悉的进位制是十进制。在十进制中，数用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个符号来描述，计数规则是逢十进一。

        在计算机系统中采用的是进位计数制，在二进制中，数用0和1两个符号来描述。计数规则逢二进一，借一当二。

        人们在计算机指令代码和数据的书写中经常使用十六进制。在十六进制中，数用0，1，……，9和A，B，……F（或a，b，……，f）16个符号来描述，计数规则是逢十六进一。

按权展开式：

        在位权的基础上，我们把数凑整展开，例如120.58，将位权和凑整的概念结合起来，我们就可以得到一个算式：100+20+0+0.5+8（注意：∵每位数上的位权都有它自己的意义，∴各位上即使是0也不能省略不写）。那么十进制的按权展开式就是1×10²+2×10**1+10**0+（5×10**-1）+（5×10**-2），同理，二进制的按权展开式就是1×2²+2×2**1+2**0+（5×10**-1）+（5×10**-2）。

数制之间的转换：

        要将一个数的二进制转换为十进制，只需把进制的按权展开式算出结果即可。其中的进制换成其它数制，则算法同理。

        反之将一个数的十进制转换为二进制，如果是整数，采用短除法，用原数除以2，得到相应的余数，反复执行下去，一直到商为0为止，其最后的余数倒序排列（从下往上抄下来）。其中无效数字省略不写。上述是对于整数而言，如果是小数，采用“乘2取整”的原则，即用原数乘2，得到乘积，并记下乘积的小数部分，反复执行下去，若乘积能得到1，则到此为止，否则只需得到循环即可，其最后的小数部分正序排列（从上往下抄下来）。其中无效数字省略不写，循环节不能省略。

逻辑运算探究：

        观察下列算式，你发现到了什么不同点？

        第一组：0×0=0    0×1=0    1×0=0    1×1=1

        第二组：0+0=0    0+1=1    1+0=1    1+1=2

        第三组：0≠1    1≠0

        第四组 ：1×1=1    1×（-1）=-1

        我们可以发现，在第一组算式中，只有当两个乘积都为1时，结果才为1，只要有1个0，结果就是0。在第二组算式中，只有两个和都为0时，结果才为0，只要有一个数不为0时，结果就不是0。这里特别注意的是，我们讲的是逻辑运算，是二进制的，∴这里的1+1的结果应该是1，2是算术运算得出的结果。在第三组算式中，在二进制中的0和1相互取反，你是几，我就不是几。在第四组运算中，遵循了有理数的乘法法则，即同号得正异号得负。

        我们由此可以得出以下结论：运算分为算术运算和逻辑运算，其中算数运算包括加减乘除，逻辑运算包括与运算、或运算、非运算、异或运算（它是两个运算法则通过一部运算完成的运算法则）。运算时应该先算异或运算，再算非运算，接着算或运算，最后算与运算。如果遇到括号要先算括号里的。

逻辑运算算式的表示法和读法：

        与运算：设A，B分别是0或1的数，则表示为AandB，读作A与B。或运算：设A，B分别是0或1的数，则表示为AorB，读作A。非运算：设该数A是0或1，则表示为notA，读作非A。异或运算：设A，B分别是0或1的数，则表示为A异或B，读作A异或B。

逻辑运算律：

        逻辑运算跟算术运算类似，根据与、或、非、异或运算的真值表，发现和算术运算律的交换律一模一样，∴我们有与逻辑交换律：AandB=BandA。同样的，我们也有或逻辑交换律：AorB=BorA，以及逻辑异或交换律：A异或B=B异或A。它们统称逻辑运算交换律。

       然后我们再看看Aand（BandC）的真值表：

A  B  C  BandC  Aand（BandC）

0   0  0      0                  0

0   0  1      1                  0

0   1  0      0                  0

0   1  1      1                  0

1   0  0      0                  0

1   0  1      0                  0

1   1  1      1                  1

再看看AandBandC的真值表：

A  B  C  AandB  AandBandC

0   0  0       0               0

0   0  1       0               0

0   1  0       0               0

0   1  1       0               0

1   0  0       0               0

1   1  0       1               0

1   1  1       1               1

可以看出Aand（BandC）=AandBandC，同样的，也有Aor（BorC）=AorBorC。以上称为逻辑运算结合律。

        然后再看看逻辑对逻辑是否满足分配律：

A  B  C  AorB  AorC  BorC （AorB）（AandC）

                                                 andC        or（

                                                                 BandC）

 0  0  0    0         0        0            0               0

 0  0  1    0         0        0            0               0

 0  1  0    1         0        0            0               0

 0  1  1    1         0        1            1               1

 1  0  0    1         0        0            0               0

 1  0  1    1         1        0            1               1

 1  1  0    1         0        0            0               0

 1  1  1    1         1        1            1               1

果然有（AorB）andC=（AandC）or（BandC），以上称为逻辑运算分配律。

        类似的，通过真值表对比，我们还可以得出逻辑运算吸收律：Aor（AandB）=A，Aand（AorB）=A，Aor（notAandB）=Aand（notAorB）=AandB。

         此外逻辑运算还满足演律：not（AandB）=notAornotB，not（AorB）=notAandnotB。演律同样可以通过真值表推导出来，以not（AorB）=notandAnotB为例：

A B   notA notB AandB not（ A  notAndnotB

                                         andB）

0 0       1   1       1         1            0               1

0 1       0   1       0         1            0               1

1 0       0   1       0         1            0               1

1 1       0   0       0         0            1               0

通过真值表看出，确定有not（AorB）=notAandnotB。

        最后还有逻辑运算还原律：notnotA=A，我们用真值表证明

A   notA    notnotA

0      1              0

1       0             1

通过真值表观察发现，0否定2次后又回到0，1否定2次后又回到1。这类似我们说的双重否定句，两次否定变原来肯定。还原律可以无限循还执行，用周期问题可以充分证明：0，1，0，1，0，1……同理1，0，1，0，1，0。综上所述，逻辑运算还原律得证。

逻辑函数的定义：

        逻辑函数的表达式为：F（f）=（A1，A2，……An）。其中：A1，A2，……，An为输入逻辑变量，取值是0或1，F为输出逻辑变量，取值是0或1，F称为A1，A2，……An的输出逻辑函数。逻辑函数有“最小项之和”及“最大项之积”两种标准形式。

表示方法：

        布尔代数法：按一定规律进行运算的代数。与普通代数不同，布尔代数中的变量是二元值的逻辑变量。

        真值表法：采用一种表格来表示逻辑函数的运算关系，其输入部分列出输出逻辑变量的所有可能组合，输出部分给出的相应的输出逻辑变量值。

        逻辑图法：采用规定的符号，来构成逻辑函数运算关系的网络图形。

        卡诺图法：卡诺图是一种几何图形，可以用来表示和化简逻辑函数表达式。

        波形图法：一种表示输入输出变量动态变化的图形，反映了函数值随时间变化的规律。

        点阵图法：是早期可编程逻辑器件中直观描述函数的一种方法。

        硬件设计语言法：是采用计算机高级语言来描述逻辑函数并进行逻辑设计的一种方法，它应用于可编程逻辑器件中。目前采用最广泛的硬件设计语言有ABLE-HDL、VHDL等。

逻辑函数表达式：

        布尔表达式：以三变量为例，类比于或运算，逻辑函数表达式为F=A+B+C。此式说明，当逻辑变量A、B、C为例，当逻辑变量A、B、C同时为1时，逻辑函数输出F才为1。其他情况下，F均为0。类比或运算，逻辑函数表达式为F=ABC，此式说明，当逻辑变量A、B、C中任何一个为1时，逻辑函数F输出等于1。类似于非运算，逻辑函数表达式为F=非A。此式说明，输出变量时输入变量的相反状态。类比于与非运算，逻辑函数表达式为F=非AB。类比于或非运算，逻辑函数表达式为F=非（A+B）。与或非运算是“先与后或在非”三种运算的组合。以四变量为例，表达式为F=非（AB+CD）。表达式说明：当输入变量A、B同时为1或C、D同时为1时，输出F的值才等于为0。与或非运算是先或运算后非运算的组合。类比于异或运算，表达式为F=A异或B，即两个输入变量值不同时F=1。类比于同或运算，表达式为F=A同或B=A异或BB，即两个输入变量值相同时F=1。在逻辑运算中，与、或、非三种运算才是最本质的，其他逻辑运算式其中两种或三种的组合。

正负逻辑：

        正逻辑：门电路的输入、输出电压的高电平定义为逻辑“1”低电平定义为逻辑“1”，低电平定义为逻辑“0”。

        负逻辑：门电路的输入、输出电压的低电平定义为逻辑“1”，高电平定义为逻辑“0”。

        同一个逻辑门电路，在正逻辑定义下如实现与门功能，在负逻辑定义则是实现先负逻辑功能。 数字系统中，不是采用正逻辑就是采用负逻辑，而不能混合使用。

逻辑函数的化简：

        逻辑函数的化简方法有公式法和卡诺图两种。逻辑函数，是一类返回值为逻辑值true或逻辑值false的函数。ture：代表判断后是真的，正确的，也可以用1表示；false：代表判断后的结果是假的，错误的。也可以用0表示。卡诺图是一种几何图形，可以用来表示和化简逻辑函数表达式。

真值表化为逻辑表达式：

        先从真值表中找出所有输出变量Y为1的表达式。找到后，在分别看每行的输出变量，如果输出变量为0，则对这个变量进行否定，输出变量为1的进行肯定。最后把每组表达式相乘，同时把这些个逻辑表达式加起来，与Y合成一个形成新的逻辑表达式。

逻辑表达式化为真值表：

        当给出一个逻辑表达式和有输入变量的真值表时。这是需要填入输出变量。我们把每一行的输入变量带入到逻辑表达式进行计算，得到输出的变量Y，填入真值表的Y中。

逻辑图化为逻辑表达式：

        由逻辑电路图输出端开始，逐级写出个门电路的逻辑表达式。依次写出Y1、Y2、Y3的逻辑表达式。根据电路的状态确定是相加还是相乘。

逻辑表达式化为逻辑图：

        根据逻辑表达式中逻辑运算的优先级（逻辑运算的优先级是非——与——或，有括号先算括号）用相应的门电路实现相对应的逻辑运算。

真值表化为卡诺图：

        当知道真值表时，画出一个图表，将每个输入变量标在边上，输入名称标在角上，结合有序数对，将输入变量填入到对应的表格。

                            第四十一章：数列

数列的概念：

        数列是指按一定的次序排列的一定数。项是数列之中的一个重要概念。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数成为这个数列的1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数成为这个数列的第n项。

数列在函数上的理解：

        数列可以看成是一组特殊的函数。它的特殊体现在其定义域和值域上。数列可以看做一个定义域为整数集N*或有限子集{1，2，3……n}的函数，其中的{1，2，3……n}不能省略。

        用函数的观点认识数列是重要的思想方法，函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a列表法；b图像法；c解析法。其中解析式包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

        他们都有自己的规律，函数不一定有解析式，同样数列也并非有通项公式。

数列中一些常用的概念：

        数列的一般形式可以写成a1，a2，……，an，a（n+1）简记为{an}。

        “有穷数列” 是项数有限的数列  ，“无穷数列”   是项数无限的数列正项数列是数列的各项都是正数的数列。

        递增数列是从第2项起，每一项大于它前一项的数列；如1，2，3，4，5，6，7 ；递减数列是从第2项起，每一项都小于它前一项的数列，如8，7，6，5，4，3，2，1 ；摆动数列是从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项大于它的后一项的数列。周期数列（如三角函数）是各项呈周期性变化的数列；常数列是各项相等的数列（如，2，2，2，2，2，2）

        数列的第n项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式来表示an=f（n）来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。需要注意的是一个数列的通项公式可能不唯一

        如果数列{an}的第n项与它前一项或前几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

        数列中项的总数为数列的项数。特别地，数列可以看成正整数集N*的函数（或它的有限子集{1，2，……n}）为定义域的函数，an=f（n）。如果用一个公式来表示，则它的通项公式是a（n）=f（n）。

        并非所有的数列都能写出它的通项公式。例如，π的不同近似值，根据精确的程度，可以形成一个数列3，3.1，3.14，3.141……它没有通项公式。

        数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。

        用符号{an}表示数列，只不过是“借用”集合的符号，他们有本质上的区别：1、集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。2、集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定的顺序排列，也就是必须是有序的。

数列的表示方法：

        如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如an=（-1）*[*（n+1）+1]。

数列通项公式的特点：

        （1）有些数列的通项公式可以有不同形式，既不唯一。（2）不是所有的数列都有通项公式。

        如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。如an=2a（n-1）+1（n＞1）.

数列递推公式的特点：

        （1）有些数列的递推公式可以有不同形式，既不唯一。

        （2）不是所有的数列都有递推公式，有些数列没有递推公式。

        有递推公式不一定有通项公式。

等差数列的概念：

        等差数列是指如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个数的常数的数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，前N项和用Sn表示。

等差中项：

        由三个数a、A、b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。

        三个数之间的关系为：A=（a+b）/2。

  等差数列通项公式：

        an=a1+（n-1）d

        a1=S1（n=1）时

        an=Sn-Sn-1（n≥2）时

        an=kn+b（k，b为常数）推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b

等差数列前n项和：

        倒序相加法推导前n项和公式：

        Sn=a1+a2+a3+……+an=a1+（a1+d）+（a2+2d）+……+[a1+（n-1）d]（1）

        Sn=an+（an-d）+（an-2d）+……+[an-（n-1）d]（2）

        由（1）+（2）得2Sn=（a1+an）+……+（a1+an）（n个）=n（a1+an）

        故Sn=n（a1+an）/2

        等差数列的前n项和等于首末两项的和与乘积项数的一半：

        Sn=n（a1+an）/2=n×a1+n（n-1）d/2，Sn=（d/2）×n²+（a1-d/2）n。且任意两项an，an的关系为an=am+（n-m）d。它可以看作等差数列广义的通项公式。

        从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可以推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……+ak+an-k+1，k∈{1，2……n}

        若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq，p，q可以不同，也可以相同，但以下不成立：若m+n=p，则am+an≠ap。

        S2n-1=（2n-1）an，S2n+1=（2n+1）（an+1），Sk，S2-Sk，S3-S2k，……，Snk-S（n-1）k成等差数列，等等。

        前n项和=（首项+末项）×项数÷2，项数=（末项-首项）÷公差+1，首项=2×前n项和÷项数-末项，末项=2×前n项和÷项数-首项。设a1，a2，a3为等差中项，则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。

等差数列日常中的应用：

        平常的生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列分级。

        快速算出从26到132之间6的整倍数有多少个？

        算法不止一种，这里介绍用数列算。令等差数列首项a1=24（24为4的6倍），等差d=6；于是，令an=24+（n-1）×6≤132即可解出n=19。

等比数列的概念：

        等比数列是指如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示。

等比中项：

        如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，这样的话G叫做a与b的等比中项。

        二者之间的关系为：G=ab；G=±（a+b）**（1/2）。

        需要注意的是：两个非零同号的实数的等比中项只有两个，它们互为相反数，∴G²=ab是a，G，b三数成等比数列的必要不充分条件。

等比数列通项公式：

        an=a1q**（n-1）（其中首项是a1，公比是q）；an=Sn-S（n-1）（n≥2）。

等比数列前n项和：

        当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为Sn=a1（1-q**n）/（1-q）=（a1-an×q）/（1-q）（q≠1）。

        当q=1时，等比数列的前n项和为Sn=na1。

        前n项和与通项的关系：a=a1=s1（n=1），sn-sn-1（n≥2）。

等比数列的性质：

       （1）若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq。（2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·a（n-1）=a3·a（n-2)=……=k∈{1，2……n}。（4）等比中项：aq·ap=ar²，则为ap，aq等比中项。记πn=a1a2……an，则有π2n-1=（2n-1），π2n+1=（an+1）2n+1。除此之外，一个各项均为正整数的等比数列各项取同底指数幂后构成的一个等差数列；反过来，以任一个正数C为底，用同一个等差数列的各项做指数构造Can，那个就是等比数列。在这个意义下，我们认为：一个正向之和等比数列与等差数列是“同构”的。（5）在等比数列中，首项a1和公比q都不为0。需要注意的是：上述公式的an表示A的n次方。

高中数列公式定理口诀：

        等差等比两数列，通项公式n项和。两个有限求极限，四则运算顺序换。数列问题多变幻，方程话归整体算。数列求和比较难，错位相交巧转换。取长补短高斯法，列项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考。一看二算三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序化。

                                    第四十二章：概率

概率简说：

        概率，又称然律，机会率、可能性，概率是数学概率论的基本概念，是在一个0到1之间的实数，是对随机事件发生的可能性的度量。用来表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。它是随机事件出现的可能性的量度，同时也是概率论的基本概念之一。人们常说这些都是概率的实例。但如果一件发生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次事件，而是至此事件发生的频率接近于1/n这个数值。

事件：

        在数学中，事件说白了就是某一件事情，它是一个广义的概念，可以以任何学科作为参考。事件分为确定性事件和不确定性事件，不可能事件和必然事件属于确定性事件，随机事件属于不确定事件。确定性事件是指一定发生的事件，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，不肯能事件是指一定不可能发生的时间。判断哪种事件时，还要结合生活实际来回答。

概率的严格定义：

        在初中数学中，概率有着严格的定义。即一句话概括概率的定义：可能性的大小叫做概率。在高中数学中，又引入了几乎必然事件和几乎不可能事件。虽然这两种事件都属于随机事件，但为了严格地定义，几乎必然事件定义为几乎一定发生的时间（或说概率非常大的随机事件），几乎不可能时间是几乎不可能发生的事件（或说概率非常小的随机事件）。

概率的计算：

        公式为：m/n，其中n是所有可能的数量，m是事件发生的数量，数的大小在0到1内。这样我们就可以得出一个结论：不可能事件的概率为0，随机事件0到1之间，必然事件的概率为1。

        求一个随机事件的概率，有枚举法、列表法、树状图，也是我们最常用的方法。枚举法是直接利用题目中给出的已知条件，套入导公式中求出概率。列表法是先列出一个表格，把涉及到的对象写在角上，每个对象相对应的事件枚举在边上，利用“有序数对判断位置”的原则把所有可能都列举在最里边的表格上，最后统计所有可能的数量和事件发生的数量，套入公式求出概率。树状图现在最上方写“开始”，然后利用几条斜线的分支把所有第一组对象都列举出来，再接下来每个对象顺着上一层所分支的对象继续往下全部分别画分支的斜线把第二组对象都列举出来，每一行要标记第几次，即代表第几次枚举的对象。最后一行的所有对象就是全部可能。结合题意，先数出有多少种可能，顺着树状图分支的顺序找到符合题意的可能有多少种，即事件发生的数量。最后套入公式。

        如果问题只涉及到一个对象，那么就用枚举法；如果问题涉及到两个对象，那么就要用列表法；如果问题涉及到三个或三个以上的对象，那么就要用树状图，∵三个对象如果还用列表法就画成空间的了，三个对象以上显然无法用表格列举。

       需要注意的是， 在计算概率之前，一定要看原题是否说到“摸完后不放回”这样的条件。如果是不放回，那么用列表法求概率时对角线保留，如果是放回，对角线划掉；换成是树状图的话，如果是不放回，有重复的分支保留，如果是放回，有重复的分支省略掉，否则得到的概率必然是错误的。另外在统计事件的数量时，不能做标记，否则题目会判错。再然后概率只能用分数或小数表示，而不能用百分数表示，这也是数学中的一个规定。最后，计算出的概率如果是分数，能约分的一定要约分，否则题目也判错。这四点也都是易错点。

游戏公平性：

        判断一个游戏是否公平，首先要用列表法或树状图列举出所有可能，再通过概率的计算判断每一方获胜的概率是否相等（有平局还需要考虑平局）。如果每方获胜概率概率相等，则游戏就公平，反之只要有一方概率不相等，游戏就不公平。

        在写答语的时候，有两种方法。一种是先说“根据列表法可知”，再直接分别算出双方的概率，然后比较大小，最后写出∵几等于几（或几不等于几），∴公平（或不公平）。另一种是先说“根据列表发可知”再算出任意一方的概率，然后1减去这一方获胜的概率，得到另一方获胜的概率，接着比较大小，最后写出∵几等于几（或几不等于几），∴公平（或不公平）。但如果是用树状图，就只能用第一种了。

        历届中考试卷压轴题：小敏的爸爸买了一张某项体育比赛的门票，她和哥哥两人都想去观看，可门票只有一张，哥哥想了一个办法，她拿了8张扑克牌，将数字2，5，3，9的4张牌给了小敏，将数字分别为4，6，7，8的4张牌留给了自己。并按如下规则做游戏：晓敏和哥哥各自从这8张牌中抽出1张，然后将2张扑克牌的点数相加。若和为偶数则晓敏去，若和为奇数则哥哥去。

        （1）列出全部可能。

        （2）哥哥设计的游戏公平吗？如果公平，请说出原因；如果不公平，请对调2个点数或更改留哥哥的扑克牌的一个点数，使游戏公平。

        分析与解答：（1）对于任何问题，都是问法越简洁答起来越简单。怎么才能让问法更简洁一些呢？“列”我们能想到列举，“可能”我们会想到“事件的数量”。那么这个显然是道概率题。问题中涉及到了2个对象，即小敏及其小敏的扑克牌、哥哥及其哥哥的扑克牌。∴我们用列表法列举出所有可能。具体如下：

        列表（1）

            哥哥    2     3    5      9

小敏

4                     6    7     9      13

6                     8    9    11      15

7                     9    10   12     14

8                     10  11    13     17

        （2）我们先考虑如何更改点数。第3行有3个和是偶数，其余3行都只有1个和是偶数，那么就有3+1+1+1=6个偶数，16-6=10个偶数，到这里就充分证明了不公平。我们知道，两个数相加，只要加数加1，和就会加1，以此类推，减法同理，且奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±奇数=奇数，偶数±偶数=偶数，∴每行的偶数和（奇数和）更改前数量与更改后的数量绝对是互补的，∴更改点数不可靠。那对调点数又会怎样呢？如果7那行的9与其他数对调，不会改变奇数和和偶数和的可能。∴点数7排除。如果8那行和5或6其中一行的总点数对调，奇数和一定是不行的，∴这种方法排除。那么一奇一偶呢？这样只会变动数字的位置，不会改变数字的大小，∴这种方法也不行，排除。最后剩下偶数和偶数了。根据移多补少的原理，如果10和第一行或第二行的偶数和对调，偶数和反倒比奇数和多了，∴10和第一行或第二行的偶数和对调的方法排除。这时只剩下4和6了。那么4和6对调一定能使游戏公平！如图所示：

        列表（2）

            哥哥    2    3    5    9

小敏

6                    8    9    11   12

4                    6    7     9    10

7                    9   10    12  14

8                   10  11    13  17

         答：根据列表（1）可知，一共有16种可能，其中抽到和为奇数有10种，抽到和为偶数有6种，∴P（抽到和为奇数） =3/8，P（抽到和为偶数）=5/8，又∵3/8≠5/8，∴不公平。根据列表（2）可知，把4点和6点对调后游戏公平，∵把4点和6点对调后，P（抽到和为奇数）  =P（抽到和为偶数）=1/2，一共有16种可能，其中抽到和为奇数有8种可能，抽到和为偶数有8种，该结论得证。

概率的频率定义：

        随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们慢慢认识到，在做大量重复实验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上来讲，概率的频率定义是不够严谨的。柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义。

用频率估计概率：

        有些时间我们无法通过计算来求出概率，这时就要用频率来估计概率。当重复试验的次数n逐渐增大时，频率fn（A）呈现出稳定性，逐渐稳定与某个常数，频率越接近这个常数，概率越接近准确值。

概率的意义：

        上面提到过，概率只能用分数或小数表示，而不能用百分数表示，那么我们为什么平时描述概率都用百分数表示呢？现在按下暂停键，请大家思考1分钟。是不是在我们生活中没有百分数的约束呢，还是人们习惯了用百分数，还是生活中规定用百分数，还是经济学中有一个百分点的术语？1分钟结束，请看大屏幕：“概率”这个字本身就有“率”字，而小数、分数都不能本身体现“率”字，正是数学中规定了“不能用百分数表示概率”才把概率中的“率”字体现出来了，而概率与频率有一定关系，概率只能估计频率，没有直接的公式，采用百分数表示的，生活中也是如此。∴我们平时平时描述概率都用百分数。∴我们一定要区分开。

概率的统计定义：

        在一定条件下，重复做n次试验，na为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n的逐渐增大，频率na/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记作P（A）=p。这个定义称为概率的统计定义。

        从概率的统计可以看到，数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指标。

        由于频率na/n总是介于0和1之间，从概率的统计定义可知，对任意事件A，皆有0≤P（A）≤1，P（Ω）=1，P（ζ）=0。

古典概率：

        古典概论讨论的对象局限于随机试验所有等可能的情形，即基本空间有无限个元素或基本时间组成，其个数记为n，每个基本事件发生的可能性是相同的。

        若事件A包含m个基本事件，则定义事件A发生的概率为p（A）=m/n，也就是说事件A的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数，这是拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的古典定义。

几何概率相关：

        若随机实验中的基本事件有无穷多个，且每个基本事件发生时等可能的，，这时就不能使用古典概率，于是产生了几何概率。几何概率的基本思想是事件与几何区域相对应，利用几何区域的度量来计算事件发生的概率，布丰投针问题是应用几何概率的一个经典例子。

几何概率的严格定义：

        设某一事件A（也是S中某一区域），S包含A，它的量度大小为米尤（A），若以P（A）表示事件A发生的概率，考虑到“均匀分布”性，事件A发生的概率取为P（A）=米尤（A）/米尤（S），这样计算的概率称为几何概率。

        若ζ是不可能事件，即ζ为Ω中的空的区域，其量度大小为0，故其概率P（ζ）=0。

独立试验序列：

        假如一串试验具备下面的三个条件：

        （1）每一次试验只有两个结果，一个记为“成功”，一个记为“失败”，P（成功）=p，P（失败）=1-p=q。

        （2）成功的概率p在每次试验中保持不变。

        （3）试验与试验之间是相互独立的。

        则这连串的试验称为独立试验序列，也称bernoulli模型。

事件的严格的分类：

        一次实验连同其中可能出现一个结果成为一个基本事件。

        一般一次实验中的某一事件由基本事件组成。如果一次实验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等。

        不可能发生的两个事件叫做互斥事件。

        必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。

概率的基本性质：

        （1）P（ζ）=0

        （2）有限可加性：当n个事件A1，……，An两两不相容时，P（A1∪……∪An）=P（A1）+……+P（An）。

        （3）对于任意一个事件A：P（A）=1-P（非A）。

        （4）当事件A，B满足A包含于B时：P（B-A）=P（B）-P（A），P（A）≤P（B）。

        （5）对于任意一个事件A，P（A）≤1。

        （6）对任意两个事件A和B，P（B-A）=P（B）-P（AB）。

        （7）加法公式：对任意两个事件A和B，P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）。

条件概率：

        条件概率是指事件A在事件B发生的条件下发生的概率。条件概率表示为：P（A|B），读作“A在B发生的条件下发生的概率”。若只有两个事件A，B，那么P（A|B）=P（AB）/P（B）。

概率测度：

        如果事件B的概率P（B）＞0，那么Q（A）=P（A|B）在所有事件A上所定义的函数Q就是概率测度。如果P（B）=0，P（A|B）没有意义。条件概率可以用决策树进行计算。

联合概率：

        表示两个事件共同发生的概率。A与B的联合概率表示为P（AB）或者P（A，B），或者P（A∩B）。

边缘概率：

        是某个事件发生的概率，而与其它事件无关。边缘概率是这样的得到的：在联合概率中，把最终结果中不需要的那些事件合并成起事件的全概率而消失（对离散型随机变量用求和的全概率，对连续型随机变量用积分的全概率）。这称为边缘化。A的边缘表示为P（A），B的边缘概率表示为P（B）

        需要注意的是，在这些定义中A与B之间不一定有因果或者时间顺序关系，A可能会先于B发生，也可能相反，也可能二者同时发生。A可能会导致B的发生，也可能相反，也可能二者之间没有因果关系。例如考虑一些可能是新的信息的概率条件性可以通过贝叶斯定理实现。

条件概率基本定理：

        定理1：设A，B是两个事件，且A是不可能事件，则称P（B|A）=P（AB）/P（A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。一般地，P（B|A）≠P（B），且它满足以下三条件：（1）非负性；（2）规范性；（3）可列可加性

        定理2：设E为随机试验，Ω为样本空间，A，B为任意两个事件，设P（A）＞0，称P（B|A）=P（AB）/P（A）为在“事件A发生”的条件下发生B的条件概率。

        上述乘法公式可推广到任意有穷多个事件时的情况。

        设A1，A2……An为任意个事件（n≥2），且P（A1A2……An）＞0，则P（A1A2……An）=P（A1）P（A2|A1）……P（A1|A2……A（n-1））。

        定理3：设B1，B2，……Bn是一组事件，若（1）至少有一个i≠j∈{1,2，……，n}，BinBj=∅（2）B1∪B2∪……∪Bn=Ω，则称B1，B2，……，Bn样本空间Ω的一个完备事件组。

        设事件组{Bi}是样本空间的一个划分，且P（Bi）＞0（i=1，2，……n）则对任意事件有P（A）=n划分i=1P（Bi）P（A|Bi）。

        定理4：贝叶斯公式：设B1，B2，……Bn是一完备事件组，则对任意事件A＞0，有P（Bi|A）=P（ABi）/P（A）=[P（Bi）·P（A|Bi）/n划分i=1P（Bi）P（A|Bi）]。

条件概率的独立性：

        当且仅当两个随机事件A与B满足P（A∩B）=P（A）P（B）的时候，它们才是统计独立的，这样联合概率可以表示为各自概率的简单乘积。同样，对于两个独立事件A与B有P（A|B）=P（A）以及P（B|A）=P（B）。换句话说，如果A与B是相互独立的，那么A在B这个前提下的条件概率就是A自身的概率；同样，B在A的前提下的条件概率就是B自身的概率。

条件概率的互斥性：

      当且仅当A与B满足 P（A∩B）=0，且P（A）≠0，P（B）≠0的时候，A与B是互斥的。因此，P（A|B） =0，P（B|A）=0。换句话说，如果B已经发生，由于A不能和B在同一场合下发生，那么A发生的概率为0；同样，如果A已经发生，那么B发生的概率为0。

分布列简介：

        分布列分为一维分布列和二维分布列，含有一个随机变量的分布列叫做一维分布列，含有两个随机变量的分布列叫做二维分布列。三维分布列同理。

        一维分布列是一个单式的表格，二维分布列是一个复式的表格，三维分布列是一个立体的表格。

        一维分布列又叫单维分布列，二维分布列和二维以上的分布列统称多维分布列。列一维分布列时要把随机变量的取值和概率区分开，列二维分布列时，如果是联合分布列，还要用X和Y，如果是离散分布列，要拆成E（X）和E（Y）的两个一维分布列。

数学期望：

        数学期望（或均值，简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，它反映随机变量平均取值的大小。公式为E（P）=x1p1+x2p2+……+xnpn。

服从二项分布的随机变量取何值时概率最大：

        二项分布是应用最广泛的离散型随机变量概率模型，对于二项分布有关的一些问题的探究是很有意义的。我们可以提出这样的问题：

        如果某射手每次射击击中目标的概率为0.8，每次射击的结果相互独立，那么他在10次射击中，最多可能击中目标几次？

        设他在10次射击中，击中目标的次数为X。由于射击中每次射击的结果是相互独立的，因此X~B（10，0.8）。于是恰好k次击中目标的概率为P（X=k）=C（k,10）×0.8

  ×0.2**（10-k），k=0，1，2 ， ……，10。从而[P（X=k）/P（X=k-1）] =[（10-k+1）×0.8/（k×0.2）]  =1+（11×0.8-k）/（k×0.2），k=0，1，2 ， ……，10。于是，当k＜8.8时，P（X=k-1）＜P（X=k）；当k＞8.8时，P（X=k-1）＞P（X=k）。

        由以上分析可知，他在10次射击中，最多有可能8次击中目标。

        如果X~B（n，p），其中0＜p＜1，那么当k由0增大到n时，P（X=k）是怎样变化的？k取何值时，P（X=k）最大？

        ∵X~B（n，p），其中0＜p＜1，∴P（X=k）=C（k，n）p

**（n-k），k=0，1，2，……，n。由p（n=k）≥p（n=k-1），p（n=k）≥p（n=k+1）得

C（k，n）p**（n-k）≥

C（k-1，n）p**（k-1）

（1-p）**（n-k+1），

C（k，n）p**（n-k）≤

C（k+1，n）p**（k+1）

（1-p）**（n-k+1）。

解得p（n+1）-1≤k≤p（n+1），

∴当p（n+1）是整数时，k=p（n+1）-1或k=p（n+1）时，p（X=k）最大；当p（n+1）不是整数时，k=[p（n+1）]时，p（X=k）最大。当k由0增大到n时，P（X=k）的值是由小到大，然后由大到小。综上，当p（n+1）是整数时，k取p（n+1）-1或p（n+1）时，p（X=k）最大；当p（n+1）不是整数时，k取[p（n+1）]时，p（X=k）最大。（[]表示取整。）

                        第四十三章：平面向量

 向量的概念：

        既有方向又有大小的量叫向量（物理学中叫矢量），向量可以用小写字母a，b，c……表示。只有大小没有方向的量叫数量（物理学中叫标量）。在自然界中，有许多量既有大小有有方向，如力、速度等。为了研究这些量的这个共性，在它们的基础上提出了向量这个概念。这样，研究清楚了向量的性质，当然用来研究其他量，就会方便许多。

向量与标量的区别：

          既有方向又有大小的量叫向量（物理学中叫矢量）， 只有大小没有方向的量叫数量（物理学中叫标量）。

向量的几何表示：

        具有方向的线段叫有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。

        有向线段AB的长度叫向量的模，记作|AB|。

        有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。

        相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量a、b平行，记作a∥b，零向量与任意向量平行，即0/a。在向量中共线向量就是平行向量。长度等于0的向量叫做零向量。

        零向量的方向是任意的，且零向量与任何向量都平行且垂直。

        模等于1个单位长度的向量叫做单位向量。

平面向量的坐标表示：

        在平面直角坐标系内，我们分别取x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj， 我们把（x，y）  叫做向量a的（直角） 坐标，记作a（x，y）。

        其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。

        在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。

        注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。而点的坐标是绝对的。若一向量的起点在原点，例如该向量为（1，2），那么该向量上的所有点都可以用（a，2a）表示。即，若一向量的起点在原点，则该向量的任意一点的横纵坐标比例关系是相同的。

向量的加法：

        已知向量a、b，在平面上任取一点A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b=AB+BC=AC。

        AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。同样，AB=a，且AD=BC，再作平行于AD的BC=b，连接DC，∵AD∥DC，且AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，AC叫做a与b的和，表示为AC=a+b。这种方法叫做向量加法的平行四边形法则。

        一直两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

        对于零向量的任意向量a，有：0+a=a+0=a。

        ||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。

        向量的加法满足所有的加法运算律。

向量的减法：

        AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则。

        与a长度相等，方向相反的量，叫做a的相反向量，-（-a）=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

        a+（-a）=（-a）+a=0。a-b=a+（-b）。

向量的数乘：

        实数兰姆达与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作兰姆达a，|兰姆达a|=|兰姆达||a|，当兰姆达＞0时，兰姆达a的方向与a的方向相同，当兰姆达＜0时，兰姆达a的方向和a的方向相反。当兰姆达=0时，兰姆达a=0。

        设兰姆达、米尤是实数，那么：（1）（兰姆达米尤）a=兰姆达（米尤a）。（2）（兰姆达+米尤）a=兰姆达a+米尤a。（3）兰姆达（a±b）=兰姆达a±兰姆达b。（4）（-兰姆达）a=-（兰姆达a）=兰姆达（-a）。

        向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的坐标运算：

        已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2），a-b=（x1-x2，y1-y2）。这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

        由此可以得到：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点减去始点的坐标。

        根据上面的结论又可得若a=（x，y），则兰姆达a=（兰姆达x，兰姆达y）。

        这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

向量的数量积：

        （1）向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过O点作向量OA=a。向量OB=b，则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角。

        （2）数量积的定义：已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积，记作a·b，θ是a与b的夹角，|a|cosθ叫做向量a在b的方向上的投影。零向量与任意向量的数量积为0。

        （3）数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a·与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。

        两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。即若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=x1x2＋y1y2。

        （4）向量的数量积的性质：a·a=|a²|≥0。a·b=b·a。k（ab）=（ka）b=a（kb）。a·（b+c）=a·b+a·c。a·b=0←→a⊥b。a=kb←→a∥b。e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ。

向量的向量积：

      （1） 向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过O点作向量OA=a。向量OB=b，则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角。记作<a，b> 。

      （2）已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积。若a，b不共线，a×b是一个向量，其模是|a×b|=|a|×|b|×sin<a，b>；a×b的方向垂直于a和b，且a、b和a×b按次序构成右手系，若a、b共线，则a×b=0。

        （3）向量积的几何意义：|a×b|是以a和b为平行四边形的面积。

        （4）向量积的性质：a×a=0。a||b←→a×b=0，a×b=-b×a。（兰姆达a）×b=兰姆达（a×b）=a（兰姆达b）。（a+b）×c=a×c+b×c。

                                        第四十四章：空间向量

空间向量的概念：

        在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性。

空间向量的运算：

        与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法、数乘运算如下。

        向量OB=向量OA+向量AB=向量a+向量b。向量BA=向量OA-向量OB=向量a-向量b。向量OP=兰姆达向量a（兰姆达∈R）。

        运算律：（1）加法运算律：向量a+向量b=向量b+向量a。加法结合律：（向量a+向量b）+向量c=向量a+（向量b+向量c）。数乘分配律：兰姆达（向量a+向量b）=兰姆达向量a+兰姆达向量b。

        运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则。

共线向量：

       （1） 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，向量a平行于向量b，记作向量a∥向量b。

        （2）共线向量定理：空间任意两个向量a、向量b（向量b≠0），向量a∥向量b存在实数兰姆达，使向量a=兰姆达向量b。

        （3）三点共线：A、B、C三点共线<=>向量AB=兰姆达向量AC<=>向量OC=x向量OA+y向量OB（其中x+y=1）。

        （4）与向量a共线的单位向量为±向量a/|向量a|

共面向量：

        （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两个向量都是共面的。

        （2）共面向量基本定理：如果两个向量a，向量b不共线，向量p与向量b共面的条件是存在实数x，y，使向量p=x向量a+y向量b。

        （3）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=>向量AP=x向量AB=y向量AC<=>向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC（其中x+y+z=1）。

                                    第四十五章：排列组合

排列组合的概念：

        所谓排列，就是从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序，组合则是从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。

        排列组合的中心问题是研究给定的排列和组合可能出现的情况总数。

排列的定义及其计算公式：

        从n个不同元素中，任取m（m≤n，m与n均为自然数）个元素按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列； 从n个不同元素中，任取m（m≤n，m与n均为自然数）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A（m，n）表示。A（m，n）=n（n-1）（n-2）……（n-m-1）=n！/（n-m）！，此处规定0！=1。

组合的定义及其计算公式：

       从n个不同元素中，任取m（m≤n）各元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 ；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的组合数。用符号C（m，n）表示。C（m，n）=A（n，m）/m！；C（m，n）=C（n，n-m）。（n≥m）

其他排列与组合公式：

        从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A（n，m）/m=n！/m（n-m）！，n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2……nk，这n个元素的排列数为n！/（n1！×n2！×……×nk！）k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C（m+k-1，m）。

排列组合的符号：

        C——组合数    A——排列数（在旧教材为P）    N——元素的总个数    M——参与与选择的元素个数    ！——阶乘

加法计数原理：

        做一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N=m1+m2+……=mn种不同的方法。

        每一类中的每一种方法都可以独立地完成任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类。要求分类不重不漏。

乘法计数原理：

       做一件事，可以有n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N=m1×m2×……×mn种不同的方法。要求分步不重不漏。

        任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且连续完成这n 步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的办法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

二项式定理：

        （a+b）**n=

        无穷（0-＞n）

        C（in）a**

         （n-1）**

            b**i

        通项公式：

        a（i+1）=

        =C（in）a

        **（n-i）b

        **i

        二项式系数：

        C（in）

杨辉三角：

        两端是1，除1外的每个数是肩上两数之和。

        系数的性质：（1）和首末两端等距离的系数相等。

                            （2）当末指数是奇数时，中间两项最大且相等。

                            （3）  当末指数是奇数时，中间一项最大。

                            （4）奇数项与偶数项相同，都是2**（n-1）。

                            （5）所有系数总和是2**n。

组合数的奇偶：

        对组合数C（n，k）（n≥k）：将n，k分别化为二进制，若某二进制位对应的n为0，而k为1，则C（n，k）为偶数，否则为奇数。

排列、组合、二项式定理口诀：

        加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题需转化。排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。不重不漏多思考，捆绑插孔是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。

                                第四十六章：导数

导数的概念：