【高等数学第17讲】泰勒公式

第十七章 中值定理（5）——泰勒公式

一、知识点

1. 泰勒公式背景：
   

   第17讲 泰勒公式 P1 - 02:24

   
2. 如何得到一个函数f(x)在某一点x0的泰勒展开？：
   

   第17讲 泰勒公式 P1 - 20:19

   
3. 定理1：（拉格朗日余项的泰勒公式）（注意定理成立的条件）：
   

   第17讲 泰勒公式 P1 - 32:15

   
4. 又称为泰勒中值定理
5. 内容：见图1
6. 为什么拉格朗日余项型需要n+1阶可导？：
   

   勘误 P2 - 02:39

   
7. 因为拉格朗日余项型泰勒公式要展开到n阶，它的余项是一个n+1阶导的多项式，因此需要n+1阶可导。
8. （皮亚诺余项的泰勒公式）：
   

   第17讲 泰勒公式 P1 - 50:48

   
9. 内容：见图2
10. 勘误：皮亚诺余项的泰勒公式并不要求n阶连续可导，只要n阶可导即可。推导的最后一步可以用导数定义，而不用洛必达法则
11. 强调：
12. 皮亚诺余项型泰勒公式，只能在x0的一个邻域内成立。
    

    第17讲 泰勒公式 P1 - 01:03:36

    
13. 为什么皮亚诺余项型只需要n阶可导？：
    

    勘误 P2 - 02:54

    
14. 皮亚诺余项型泰勒公式要展开到n阶，它的余项只要求是一个n阶导的高阶无穷小（这是一个定性的描述，并没有给出具体的余项的式子），所以n阶可导足够。
15. 麦克劳林公式：
    

    第17讲 泰勒公式 P1 - 01:05:25

    
16. 特别地，若x0=0时，称为麦克劳林公式
17. 需要熟记的麦克劳林公式（以皮亚诺余项型为例）（见图3）：
    

    第17讲 泰勒公式 P1 - 01:05:54

    
18. 灵活使用麦克劳林公式：
    

    第17讲 泰勒公式 P1 - 01:10:01

    
19. 泰勒公式使用框架：
    

    第17讲 泰勒公式 P1 - 01:11:44

    
20. 什么时候用泰勒公式？
21. 高阶导数
22. 用哪个泰勒公式？
23. 两个泰勒公式的特点：
24. 拉格朗日余项型：
25. 区间上使用（全局）
26. 给出了Rn(x)的表达式（包含中值ξ）
27. 皮亚诺余项型：
28. 邻域内使用（局部）
29. 没有指出Rn(x)的表达式，Rn(x)只是一个比(x-x0)^n更高阶的无穷小
30. 选择：
31. 局部形态：皮亚诺余项型（极限、极值…）
32. 全局形态：拉格朗日余项（单调性、最值、不等式…）
33. 在哪个点上用泰勒？
34. x0通常选取与导数、极限信息有关的。
    

    第17讲 泰勒公式 P1 - 01:17:27

    

图1.拉格郎日余项的泰勒公式（整体用）：

图2.皮亚诺余项的泰勒公式（局部用）：

图3.需要熟记的麦克劳林公式（以皮亚诺余项型为例）：

二、证明

1. 证明拉格朗日余项的泰勒公式：
   

   第17讲 泰勒公式 P1 - 34:20

   
2. 证明皮亚诺余项的泰勒公式：
   

   第17讲 泰勒公式 P1 - 54:01

   
3. 

   勘误 P2 - 04:45

   
4. 研究生考试的一道真题：
   

   第17讲 泰勒公式 P1 - 02:01:54

   
   （多看几遍）
5. 利用泰勒公式证明不等式：
   

   第17讲 泰勒公式 P1 - 02:39:26

   
   （多看几遍）
6. 证明第二问时要把x=0或x=1带入尝试
7. 利用泰勒公式证明不等式：
   

   第17讲 泰勒公式 P1 - 02:48:15

   
8. 分析：
9. 涉及f,f'''=>首选泰勒
10. 用哪个泰勒？=>证明不等式在区间上成立，用拉格朗日余项
11. 在哪个点展开？=>给导数信息或极限信息比较多的点，本题是0点
12. 介值定理与导数介值定理：
    

    第17讲 泰勒公式 P1 - 02:57:30

    
    （了解一下就行）
13. 零点定理与导数零点定理无关。（在费马引理那一节）
14. 由导数零点定理可以推出导数介值定理。
15. 导数介值定理：
    

    第17讲 泰勒公式 P1 - 03:01:15

    

三、计算

1. 利用泰勒求极限：
   

   第17讲 泰勒公式 P1 - 01:19:60

   
2. 展开原则：
3. 上、下同阶
4. 单看分子（或分母）：展开至两项之和（差）第一个未被抵消掉的最低次项
5. 已知极限求参数：
   

   第17讲 泰勒公式 P1 - 01:32:51

   
6. 抓主要矛盾
7. 非常容易犯错的一道极限题：
   

   第17讲 泰勒公式 P1 - 01:39:20

   
   （多看几遍）
8. 第一次做不会处理e^[ln(1+x)/x]
9. 利用泰勒求函数在具体某一点的高阶导数：
   

   第17讲 泰勒公式 P1 - 02:20:23

   
10. 利用泰勒求抽象函数在具体某一点的高阶导数：
    

    第17讲 泰勒公式 P1 - 02:32:26

    
    （多看几遍）