骅群第二届物竞部分题目详解【末影狐】

2023-08-01 16:00 作者:湮灭的末影狐 0人读过 | 我要投稿

大家好，这里是末影狐，最近骅群成功举办了第二届物理竞赛，笔者作为上届冠军有幸受邀参与了本次竞赛的出题。很高兴不少群友对笔者出的题还是比较感兴趣的，准备在这里以专栏的形式做一个较为详细的分析。

中学组

笔者为中学组出了一道电路题。这道题是比较早就在构思的，当时还没准备为第二届比赛设置大学组，所以按要求没有涉及任何微分方程的内容。题型构造上模仿了国际赛的风格，这也是之前在讨论时一些群友表示希望加入的，主要特点是内容多小题多，但每步都不会太困难。

内容上，涉及LC、RLC这些电路的暂态过程，虽然这些内容要进行详细的学习都是要涉及微分方程的，但是我希望能够以一种中学生能够理解的形式呈现给大家，也一定程度上帮助不熟悉的同学建立一些对这种线性系统的直观感受。先简单看一下参考答案。

这道题本身并不复杂，题干已经有大量的提示。题目中说明了，如果有一个合适的电路和力学系统相对应，将通过回路的电荷 Q 对应到力学系统的质点位置 x，电流 I 对应到速度 v，电压 U 对应到力 F，那么两个系统将给出形式上完全相同的运动方程。而电容在充入电荷时储能并提供电压，可以看作弹簧；电感在通过电流时储能并体现出“惯性”（电流改变需要提供电压），可以看作质点。

有了这样的理解，前2小题事实上并不困难，只要愿意做的大部分都做对了。第一题只需要把动能 $mv%5E2%2F2$ 表达式替换成电路的参量即可得到。第二题也是类似的思路，电容作为弹簧，输出的电荷流过电感，就相当于弹簧连接一个质点进行简谐振动。需要注意的是，弹簧振子周期公式是

$T%3D2%5Cpi%5Csqrt%7B%5Cfrac%20mk%7D$

有些同学记反了根号内的内容。写出来的结果要验算可以做个量纲分析看量纲是不是[T]。

第三小题是稍微难一点的类比推理，不过思路也是类似的，需要一个正比于速度的阻尼，在电路中就对应一个元件消耗一定压降，正比于电流大小，所以这个元件显然是电阻。

难点

第四小题开始是主要难点，大部分选手没能做对。第四题看图像猜暂态过程的解，算是综合考察了选手的物理直觉和天赋。关键在于一个“猜”，我并未要求你具体求解任何微分方程，你只要猜出一个能凹出这种图像的合适函数。下面详细分析如何仅根据高中知识猜这个解。

首先如果只是列出运动方程并不困难。

$mx''%2B%5Cgamma%20x'%2B%5Comega_0%5E2x%3D0$

该方程只比简谐振子的方程多一个阻尼项，而我们都知道简谐振动的图像是三角函数。结合给出的图像，有理由猜测阻尼振动解当中三角函数因子仍然会被保留，只是总体的振幅是在不断减小的。如果拿尺子量一下图像上各个零点的位置也可以确认，该振动的频率也是一个恒定值。我们应当猜的解是

$x%3DA(t)%5Csin(%5Comega%20t%2B%5Cphi)$

振幅 A 是随时间变化的，并且应当是一个随时间单调递减，最后趋于0的函数。如何猜这个函数呢？

我们再观察运动方程，只含位置 x 及其一阶导、二阶导，其他都是常数。这要求我们的解的导数和自身直接相关。回忆高中教的各种函数的导数公式，能满足“求导和自身直接相关”的函数其实只有指数函数和三角函数。这时候，猜测

$A(t)%20%3D%20A_0e%5E%7B-%5Cbeta%20t%7D$

就是最自然最直接的一个想法。所以阻尼振动解就是

$x%3DA_0e%5E%7B-%5Cbeta%20t%7D%5Csin(%5Comega%20t%20%2B%5Cphi)$

所以我们即使没有实际求解微分方程，也可以综合我们了解的各种条件去猜测系统的解。事实上很多物理系统我们都是先猜测解，之后再验证确实是解的，希望这个小题能启发大家面对类似问题时的思路。

来到第5小题，这里就是比较新奇的内容了，这题得分率也是最低的。

首先可以确定三个弹簧两个质点的耦合摆系统需要三个电容两个电感的电路。画电路的关键在于如何连接电容电感使得所有参数能够刚好对上。

首先需要明确的一点是：系统的自由度。耦合摆系统有两个质点，系统的状态就需要两个独立参量来描述，具体来说就是两个质点各自的位置 $x_1%2Cx_2$ . 对应到电路中，就要求我们画的电路存在两个独立的回路。不少错误答案都简单地把所有电容电感串联成单一的回路，这样回路只能通过单一的电流，是没办法模拟两个质点耦合运动的。