热传导问题的数学物理推导

为什么要写这个呢，因为打算发热传导的视频了，但是又不想让视频过于“硬核”，因此把硬核部分放到专栏。

热传导问题基于两个基本规律：

能量守恒定律 牛顿冷却定律

设有一块连续介质，取一个直角的坐标系，并用u(x,y,z,t)表示点(x,y,z)在时间t时刻的温度。

由牛顿冷却定律，若沿着一个方向有温度差，那么在该方向上就会有热量的传递。用数学语言表述，就是： 单位时间内通过垂直该方向的单位面积的热量q与温度的空间变化率成正比

即

其中q就是热流密度(类比密度的定义：单位上的质量)，k是导热率(即成正比的比例是多少)

负号表示热流的方向(q的正负)和温度变化的方向(u对x的偏导)相反，即热量从高温流向低温。

在这里停一下，形象化解释一下公式。热流就是热量的流动方向，也就是热辐射的辐射方向，可以形象化理解为暖流的流动方向。

而u对x的偏导数，就是所谓梯度(gradient)。它的方向是沿着等值线的最快下降方向。

所以上面那个公式意思就是，热流方向是负温度的梯度方向。

好了继续

因为傅里叶研究的是三维问题，所以在介质的三个正交方向x,y,z都可以有温度差，即

或者可以写作矢量形式

即热流密度矢量q与温度梯度成正比。

倒三角符号就是梯度的意思。

好了，我们接下来考虑介质内部的一个微小平行六面体。12条边都与坐标轴平行。

接下来考虑一个微小时间段Δt内，热量流入这个六面体。因为是六个面，所以是xyz三个方向都有热量流入。

Δt内沿x方向流入热量=一个x面的流入热量-另一个x面的流出热量，一个面的流入能量就是热流密度乘面积，再乘上流入时间Δt。面积也就是y,z两条边的边长相乘，S=ΔyΔz。

公式为：

y方向同理。Δt内沿y方向流入热量=一个y面的流入热量-另一个y面的流出热量，一个面的流入能量就是热流密度乘面积，再乘上流入时间Δt。面积也就是x,z两条边的边长相乘，S=ΔxΔz。

公式为：

z方向同理。Δt内沿z方向流入热量=一个z面的流入热量-另一个z面的流出热量，一个面的流入能量就是热流密度乘面积，再乘上流入时间Δt。面积也就是x,y两条边的边长相乘，S=ΔxΔy。

公式为：

然后把q的表达式代入上面的公式中。

好了停在这里解释一下，这里用到一些微分知识

对于一元函数，可微和可导是一样的。微分指的就是两个点y值的差值的主要线性部分。

上面的公式把邻域的两个一阶导数相减写成了二阶导数*dx形式，就是利用了微分。

因此Δt时间内三个方向净得能量：

总共是三个方向的能量相加，即

这里用到了拉普拉斯算子

好了到了这一步我们得到了单位时间内这个六面体的净得能量。由能量守恒定律，净流入的能量等于该介质在此时间内温度升高所需要的热量。

由烧水公式(比热容公式)

好了观察下两边，同时除ΔxΔyΔz，再把一边挪成0，我们就得到了均匀各向同性介质的热传导方程：

其中ρ是介质密度，c是比热容。

那么如果介质内部产热呢？

我们就得到了一个非齐次方程。

好了，这就是热传导方程的推导过程，至于傅里叶是怎么解决这个方程的，我下次再写。