材料力学弯曲变形
本章重点
掌握梁弯曲变形时的变形计算和刚度问题掌握简单超静定梁的求解方法挠曲线及微分方程积分法求弯曲变形叠加法求弯曲变形简单超静定梁
提高梁弯曲刚度的措施
一、挠曲线
1．基本概念
（1）挠度：
横截面形心 C（即轴线上的点）在垂直于 x 轴方向的线位移，称为该截面的挠度，用 w 表示，如图所示。
（2）转角：
横截面对其原来位置的角位移，称为该截面的转角，用 表示。
（3）挠曲线：
梁变形后的轴线称为挠曲线，是一条光滑连续曲线。
①一般弯曲：梁的轴线变形后是一条空间曲线；
②平面弯曲：梁的轴线变形后是一条平面曲线；
③对称弯曲：梁的轴线变形后是一条平面曲线，此曲线在纵向对称面内。
（4）小变形情况下，挠度与转角的关系：θ≈tanθ＝w′（x）。
（5）挠度和转角的符号规定挠度向上为正，向下为负；
转角自 x 转至挠曲线的切线方向，逆时针转为正，顺时针转为负。
2．挠曲线微分方程
（1）由纯弯曲变形和横力弯曲变形忽略剪切应力的情况下，弯矩与曲率间的关系式
并根据数学计算得挠曲线的微分方程
（2）挠曲线的近似微分方程
小变形情况下，由于挠曲线极其平坦，即 dw/dx 很小，挠曲线微分方程中（dw/dx）2 与 1 相比可以忽略不计，所以可得挠曲线的近似微分方程
二、积分法求弯曲变形
1．基本方程
（1）转角方程：
（2）挠度方程：
2．积分常数的确定
（1）边界条件
梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。
①悬臂梁如图（a）所示，固定端挠度和转角都等于零，即 x＝0：wA＝0，θA＝0。
②简支梁如图（b）所示，铰支座处约束条件为挠度等于零，即 x＝0：wA＝0；x＝l：wB＝0。
（2）连续条件
梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。
①若中间存在铰支座，则在中间铰处，挠度连续，转角不连续；
②在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角应相等w1＝w2，θ1＝θ2
3．积分法的原则
以图所示简支梁为例说明积分法的原则：
（1）对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的，所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程，只增加了（x－a）的项；
（2）对（x－a）的项作积分时，应该将（x－a）项作为积分变量，从而简化了确定积分常数的工作；
（3）凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；
（4）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
（5）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
（6）凡分段点处应列出连续条件，根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转角，在中间铰两侧虽然转角不同，但挠度却是唯一的。
三、用叠加法求弯曲变形
1．叠加原理
梁的变形微小，且梁在线弹性范围内工作时，梁在几项载荷（可以是集中力，集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一载荷单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。当每一项载荷所引起的挠度为同一方向（如均沿 y 轴方向），其转角是在同一平面内（如均在 xy 平面内）时，则叠加就是代数和，即
2．叠加方法
（1）载荷叠加
①多个载荷作用的情形
如图所示，以在均布载荷 q 和集中力 F 共同作用下的简支梁为例说明。将其分解为集中力 F 和均布载荷 q 单独作用的情形，由挠度表查得二者单独作用下产生的挠度和转角，将所得结果以代数和的形式叠加，即可得到两载荷同时作用的结果。
②间断性分布载荷作用的情形
以图所示为例，根据受力与约束等效的要求，将间断性分布载荷 q 变为梁全长上连续分布的载荷 q/2，然后在原来没有分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷 q/2，最后应用叠加法。
（2）变形叠加
逐段分析法：将梁的挠曲线分成几段，首先分别计算各段梁的变形在某特定截面引起的位移（挠度和转角），然后计算其总和（代数和或矢量和），即该处位移。在分析各段梁的变形在某一特定截面引起的位移时，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。求解过程如图所示。
3．梁在简单载荷作用下的变形
4．叠加原理的适用条件
叠加原理只适用于线性函数，要求挠度、转角是载荷的线性函数。
（1）弯矩与载荷成线性关系梁发生小变形，忽略各载荷引起梁的水平位移。
（2）曲率 1/ρ 与弯矩成线性关系梁处于线弹性范围内，满足胡克定律。
（3）挠曲线二阶导数 w″与 1/ρ 成线性关系
1＋w′2≈1.0，即梁的变形为小变形。
5．刚度条件
|w|max≤[w]|θ|max≤[θ]式中，|w|max和|θ|max为梁挠度和转角的最大值；
[w]和[θ]为规定的许可挠度和转角。
四、简单超静定梁
1．基本概念
（1）超静定梁：未知支反力数目大于静力平衡方程数目的梁。
（2）多余约束：从维持平衡角度而言，多于维持其静力平衡所必需的约束。
（3）多余反力：与多余约束相对应的支座反力。
（4）超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。
（5）静定基：将静不定系统中的多余约束解除后，得到的“静定基本系统”。
（6）相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力，便得到受力和变形与静不定系统完全相同的“相当系统”。
2．超静定梁的求解步骤
（1）确定超静定次数
（2）选择基本静定基如图所示，以一端固定，一端铰支的梁 AB 为例。该梁有四个未知反力，为一次静不定系统。不同基本静定基的选择如下：
a．解除 B 支座的约束，以约束反力代替，即选择一端固定一端自由的悬臂梁作为基本静定基，相应的相当系统如图（a）所示。
b．解除 A 端阻止转动的约束，以约束反力代替，即选择两端简支的梁作为基本静定基，相应的相当系统如图（b）所示。
基本静定基选取遵循的原则：
a．基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统。
b．基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条件。
一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单，其次是简支梁，最后为外伸梁。
（3）列出变形协调条件比较原静不定梁和静定基在解除约束处的变形，根据基本静定基的一切情况要与原超静定梁完全相同的要求，得到变形协调条件。如图所示，为不同基本静定基下的变形协调条件。
（4）用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力。
（5）根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。
（6）在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。
五、提高弯曲刚度的措施
梁的变形除了和载荷与梁的约束有关外，还取决于材料、截面和跨度，表现为梁的变形与弹性模量 E 成反比，与截面的惯性矩 Iz成反比，与跨度 l 的 n 次幂成正比。
1．改善结构形式，减小弯矩的数值
（1）改变载荷类型
把集中力分散成分布力（如图所示，弯矩有效减小），或者使力的作用点尽量靠近支座，可以取得减小弯矩降低弯曲变形的效果。
（2）改变支座形式
缩小支座跨度是减小弯曲变形的有效方法，若长度不能缩短可采取增加支承的方法提高梁的刚度，如图所示。
2．选择合理的截面形状
增大截面惯性矩的数值，可以提高弯曲刚度，工字型、槽形、T 形截面都比面积相等的矩形截面有更大的惯性矩。
3．合理选择材料
弯曲变形与材料的弹性模量 E 有关，E 值越大弯曲变形越小。
【END】本章节的学习到这就结束了，要把握重点，不断练习哟~
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