数量趣味题型——“牛吃草问题”

“牛吃草问题”是行程问题的一种变形，主要分为两类：“追及型”牛吃草和“相遇型”牛吃草，在数量中属于中频题型，简单易懂。

题型特征：1.出现排比句式（几头牛几天吃完草）；

2.一个不变量（原有草量）；

3.两个变量（牛吃草的速度、天数）。

这种题型源自小学奥数，常用的解题方法就是公式法。核心公式如下：

追及型牛吃草：

Y：原有草量

N：牛的数量

X：草的自然增长速度

T：牛吃草的时间

相遇型牛吃草：

Y：原有草量

N：一种方式的消耗效率

X：另一种方式的消耗效率

T：牛吃草的时间

例1、一片草地（草以均匀速度生长），240只羊可以吃6天，200只羊可以吃10天，则这片草可供190只羊吃的天数是（  ）。

A.11 B.12 C.14 D.15

【答案】B

【解析】根据题型判定，推断本题为追及型牛吃草问题。使用核心公式可得：y=（240-x）×6，y=（200-x）×10，解得x=140，y=600。再代入公式y=（190-x）×T，推出T=12，所以答案选B。

例2、火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之后每分钟增加排队购票的乘客人数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队，若开放3个窗口，需耗时90分钟，若开发5个窗口，则需耗时45分钟。问如果开放6个窗口，需耗时多少时间？

A.36 B.38 C.40 D.42

【答案】A

【解析】根据题型判定，推断本题为追及型牛吃草问题。使用核心公式可得：y=（3-x）×90，y=（5-x）×45，解得x=1，y=180。再将问题的条件代入公式，y=（6-x）×T，推出T=36，所以答案选A。

例3、某医院有一氧气罐匀速漏气，该氧气罐充满后同时供40人吸氧，60分钟后氧气耗尽，再次充满该氧气罐同时供60个人吸氧，则45分钟后氧气耗尽。问如果该氧气罐充满后无人吸氧，氧气耗尽需要多长时间？

A.一个半小时 B.两个小时 C.两个半小时 D.三个小时

【答案】D

【解析】根据题型判定，推断本题为相遇型牛吃草问题。使用核心公式可得：y=（40+x）×60，y=（60+x）×45，解得x=20，y=3600。再将问题的条件代入公式，y=（0+x）×T，推出T=180分钟，所以答案选D。

同学们在做牛吃草问题过程中，可能会觉得公式有一点问题，比如N是牛的数量，x是草的生长速度，这俩完全不是一回事，怎么可以减到一起去呢？我们这里使用的是化一法，假定一头牛一天吃的草量为1份，那么N头牛每天就吃N份草，再假设草每天新生长的量为x份，所以每天草的净下降量就是（N-x）份。如果是相遇型牛吃草，为什么公式是Y=（N+x）×T呢？我们拿例题三来举例，N是一个人每分钟吸氧的量，x是每分钟漏气的量，所以每分钟实际消耗的氧气量就是（N+x），再乘以时间，就是氧气罐装满的氧气量。