复旦大学谢启鸿高等代数每周一题[2021A09]参考解答

本文是本人给出的2021年复旦大学谢启鸿高等代数的每周一题[问题2021A09]的解答

题目来自于复旦大学谢启鸿教授在他的博客提供的每周一题练习

（链接：https://www.cnblogs.com/torsor/p/15329047.html）

本文仅供学习交流，如有错误恳请指正！

[问题2021A09]设A为列满秩的实矩阵.

(1)求证：为非异阵.

(2)设A的第一列元素全为1，令，求证：P的所有主对角元素都大于等于.

解(1)我们使用公式，可以得到：

从而为非异阵.

或者我们可以考虑线性方程组和的解的关系，若，则，即，从而.反过来显然.

于是线性方程组和的同解，即只有零解，于是是非异阵.

(2)注意到,于是根据A的第一列元素全为1可知P的每行每列之和都为1，并且

或者我们也注意到对任何，从而P是半正定阵，于是P的所有主子式非负.考虑大于等于二阶主子阵中绝对值最大的元素，若其不在对角线，则可得出绝对值最大的元素所在的二阶主子式是负值，这是不可能的，于是每个主子阵的绝对值最大的元素都在对角线上，这也就说明了对角线元素不会比非对角线元素小，从而由P的每行每列之和都为1可以得到对角线元素大于等于.

注  文末附上图片格式的解法，有需要的读者可以自行取用，仅供学习交流