学不明白的数学分析（六十一）

介绍过Fourier级数的基本概念之后，很显然，我们接下来要着重研究一下Fourier级数的收敛性问题。Fourier级数作为一种函数项级数，显然是满足函数项级数的各种收敛定理，并且受各种判别法的限制的。但是，在另一种函数展开级数——Taylor级数部分，我们提到过，即使级数收敛，也未必收敛到函数本身。对于Taylor级数而言，我们比较容易得到判断其是否收敛到原本函数的充要条件。但是对于Fourier级数而言，问题就没那么简单了。这也是我们要着重讨论它的原因。

Chapter  Seventeen  Fourier分析

17.2  Fourier级数的收敛定理

在讨论Fourier级数的收敛问题之前，我们首先要指出，不同于我们之前对函数项级数的讨论，很多时候我们更关注Fourier级数的收敛值，也就是Fourier级数在某点处的收敛性与其和的存在性问题。至于Fourier级数是否一致收敛，一方面由于其过于难以讨论，另一方面对于Fourier级数而言，很多时候结论可能都是否定的。所以我们主要研究它的逐点收敛性。

我们还是回归到级数的本质——部分和数列的极限。

Fourier级数的在某点处的部分和应该写作：

代入系数表达式，就有：

利用积化和差公式不难证明：

（命题1）

于是就有：

换元，并平移积分区间，就有：

最后得到的积分就成了我们讨论问题的关键，这一积分称为Dirichlet积分，被积函数中的：

称为Dirichlet核。

对于Dirichlet核，我们能够得到：

也即：

设若该级数收敛，且假设，则有：

考虑Riemann-Lebesgue引理的条件，我们知道当满足：

在上可积且绝对可积（即，常义积分区间上可积，反常积分区间上绝对可积）时，Fourier级数逐点收敛，且有：

即收敛于函数在该点处的左右极限的平均值。

进一步考虑，一方面，由于：

且二者左右两侧都是非负的，则由比较判别法，当：

可积且绝对可积时，也能得到一样的结论。

另一方面，区间右端点实际上可以任意的小。因为对于任意的，我们总可以将积分区间拆解成两个部分，一个是常义积分部分，一个是反常积分部分。对于常义积分部分使用Riemann-Lebesgue引理，就能得到这是收敛至0的。于是，积分值主要取决于反常积分部分。

上面的讨论引申出两个结果：

（1）函数在某点处的收敛性只与函数在该点附近的的表现有关；

（局部收敛定理）

（2）当存在，使得函数：

在上可积且绝对可积时，Fourier级数逐点收敛，且有：

即收敛于函数在该点处的左右极限的平均值。

（Dini判别法）

利用Dini判别法，可以直接得到以下两个便于应用的判别法：

（1）设函数（这表明该函数是给定区间上的可积且绝对可积函数），其在附近满足阶Lipschitz条件，即：

则此函数的Fourier级数在该点处收敛于：

（2）设函数，当其在处有两个有限的广义单侧导数：

时，此函数在该点处的Fourier级数收敛至：

特别地，当函数在这一点处至少是单侧可导时，。

这样的结果表明，当函数在某一点处至少有一阶导数时，就可以保证其Fourier级数在该点收敛，并且其和等于函数在该点的函数值。

对于周期非2π的函数而言，考虑到我们最开始介绍Fourier级数时提到过的变换，就可以做出类似的Fourier展开；而对于仅在有限区间上有定义的非周期函数，我们如果将其看做一个周期函数的某一个周期，拓宽函数的定义域，由于原本函数的性质在新的延拓后的函数内没有发生变化，因此对于这个新函数的展开也就得到了原本有限区间上的函数的Fourier级数。

不过，有的时候，为了直接利用我们已经有的讨论结果，很多时候我们会采用其他的延拓方式。比如说，对于定义在的函数，由于其区间长度正好是2π的一半，所以我们可以考虑将这个函数先按照一定的规律延拓成一个定义在上的函数，这样就可以直接利用我们的结果进行展开并判断敛散性等。进而，我们再将其推到整个实数域上去。

为了计算方便，我们通常采用两种延拓方式，一种是令：

称为偶性延拓，另一种是满足：

称为奇性延拓。

这两种延拓的方便之处在于，偶性延拓使得函数变成了偶函数，从而使得级数中的正弦项的系数全部为0，而只需要计算余弦项；对应地，奇性延拓使得函数变为了奇函数，从而级数中的余弦项消失，正弦项得以保留。

通过偶性延拓得到的级数中只有余弦项，称为余弦级数；对应地，通过奇性延拓之后得到的级数称为正弦级数。

Chapter  Seventeen  Fourier分析

17.3  Fourier级数的Cesàro求和

我们上面对Fourier级数收敛性质的讨论很大程度上表明，只有当函数一定程度上可导的时候，它的Fourier级数是收敛的。而1876年，Du Bois-Reymond举出了一个连续函数，它的Fourier级数在若干点处是发散的。这就表明，仅有连续性没办法保证Fourier级数收敛。

这一结论极大地限制了Fourier级数的应用，尽管它的应用范围已经很广泛了，但是面对很多我们需要它来处理的问题时，它却无能为力。

历史上的数学家们想了很多办法，来进一步扩大Fourier级数的收敛范围与应用范围，其中比较瞩目的方法，就是改变收敛性的定义。尽管原本我们对收敛性的定义十分地符合我们的直观，但是在某些方面，却又与我们很多直接的想法相悖，比如说级数显然是发散的，但是我们却可能会直观地认为这一级数可以收敛。（因为级数的形式十分地简单，而且相邻两项之间可以约去，导致最后的结果其实只是有限值，甚至是在两个值之间来回变动。）

为此，一些数学家们提出了一些新的收敛性定义，使得其收敛范围大于原本的收敛范围。其中比较好理解的，就是我们接下来要介绍的Cesàro求和与收敛：

设是一个无穷级数，是其部分和序列。如果序列：

收敛，则称级数在Cesàro意义下收敛，称为该级数的Cesàro和，记为：

此时，称级数可Cesàro求和。

无论是利用Cauchy命题，还是利用Stolz定理，我们都能证明，如果一个级数在通常意义下收敛，那么它一定可Cesàro求和。而对于我们举的例子，我们不难发现：

于是，新的收敛范围就比原本的收敛范围要大了一些。

那么，在Cesàro意义下，Fourier级数的收敛性又有怎样的变化呢？

我们考虑：

这里利用了三角恒等式：

（命题2）

利用Dirichlet核的积分，我们不难得到：

我们还是假设Fourier级数是在Cesàro意义下收敛的，并设其和为，则有：

我们很容易就猜到，如果函数在处的左右极限都存在，则Fourier级数在该点处在Cesàro意义下收敛。即：

设函数。如果函数在处的左右极限都存在，则Fourier级数在该点处在Cesàro意义下收敛，且：

（Fejér定理）

从这一定理，我们能够得到：

设函数。如果函数在处的左右极限都存在，且其Fourier级数在通常意义下收敛，则其一般意义下的和一定为左右极限的算术平均值。

（推论1）

如果我们将周期函数强化为连续周期函数，那么我们对应修改Fejér定理中的证明，就可以得到：

连续周期函数的Fourier级数在Cesàro意义下在上一致收敛于其本身。

（Fejér定理）

从而我们可以得到：

如果在上连续，且：

则其能用三角多项式一致逼近。

（Weierstrass三角逼近定理）

不难想到，其实用于逼近函数的三角多项式就是Fourier级数的Cesàro和序列。

我们最后为大家介绍另一种收敛性概念，但是具体的内容不做过多讨论：

设由无穷级数产生的幂级数的收敛半径为1.若：

存在且有限，则称级数在Abel意义下收敛，称为其Abel和，记为：

此时称级数可以Abel求和。

思考：

1. 证明命题1；

2. 证明命题2；

3. 证明Fejér定理；

4. 证明推论1；

5. 证明：对任意的，有：

   

   

6. 证明：对以及，有：

   

7. 求下列级数的Cesàro和：

   （1）

   

   （2）

   

8. 证明：

   （1）如果级数在通常意义下收敛，则一定在Abel意义下收敛，且有：

   

   （2）

   

   （3）如果级数在Cesàro意义下收敛，则一定在Abel意义下收敛，且有：

   

   （4）级数：

   可Abel求和，但是不能Cesàro求和，并求其Abel和；

9. 求级数：

   

   的Cesàro和。

最後の最後に、ありがとうございました！