2023年新一卷圆锥曲线——折线的最值

Hello，大家好！

2023年的新一卷数学明显比2022年仁慈了许多，所以可以断定今年阅卷老师步骤分一定抠得非常细，想要在考场上不扣步骤分地将压轴题证出也并不容易。

先看原题：

第一问是抛物线的定义，就不再赘述

 的方程为 

第二问，不妨设三个在  上的点是 ，，

因为  为矩形，所以 ，则矩形周长为 

于是只要证 

不妨设直线  的斜率为 ，则直线  的斜率为 ，由于两条直线不可能平行于  轴，所以  一定存在

通过韦达定理可以将  、 用  、 表示

直线  ：

与  联立消  得：

由韦达定理得：

于是 ，同理 

由线段长度计算式可得：

这是一个关于 、 的二元函数。仔细观察这个函数，若视  为参数， 为变量，则其可看作两条折线相加：

不难想到，当绝对值内的式子为  时，折线就会发生偏转，这两个偏折点分别是  和 ，它们将折线分成了三段，而且右边的射线向  轴正方向延申至无穷大，左边的射线向  轴负半轴延申至无穷大

折线还有一个重要的性质，那就是对于每一段线段，最值一定位于端点处，于是当固定  时，函数关于  的最小值一定会出现在  处或者  处 ，只要这两处函数值均大于  即可

① 当  时：

可以直接用均值不等式求得最小值，当然求导也行，令 ，则有：

取等条件为 

② 当  时：

仔细观察可以发现，只要用  替换  即可得到与上面完全一样的式子

于是 

取等条件为 

不过，当  时，由判别式  ， 与  相切，不符合题意，同理当  时也不符合题意，所以最小值无法取到

综上， ，证毕！

再回头看看这道题，很显然，矩形  具有两个自由度，因此无论如何设变量，在表示周长一定有两个自由变量，而问题的关键就是找到“好的”变量，使得后续工作尽可能简单

许多同学试图直接用坐标来充当变量，这貌似不太可行，理由如下：

很显然，在本题中点  和点  地位相同，即  和  等价

如果在、、 中选择两个坐标来当作变量的话，根据斜率关系有 ，并不太方便用  和  来表示  ；然而，如果用  和 表示  ，或者用  和  表示  ，就会隐蔽地破坏掉  和  的等价关系（这感觉是种玄学），后续工作可能会比较困难，当然读者也可以尝试一下

 因此，为体现出  和  的等价性，我们使用斜率  这一桥梁来联结  和 ，这样用  和  两个变量就可以表示出矩形的周长了

当然，可能还有其他更好的设变量的方式，就留给读者思考了

好了，以上就是全部内容了，感谢观看！

拜拜~