第一节 换元法

例1.计算

有人可能会说：直接微积分第二定理就搞定了！

不，这积分不太简单，因为我们找不到它的反导数

为了简便的计算这个定积分，我们可以先算这个不定积分

然后令t=x^3，则不定积分变成

然后就可以计算了？不！你有没有发现，这里有两个自变量？（t和x）

为了统一，我们必须换掉一个量，很明显我们要换掉x^2 dx，换成以a dt的形式(a为常数)

好在我们令t=x^3了，那么就有dt/dx=3x^2

这样，就有

即

现在即可计算这个不定积分了

我们现在找到了反导数（即sinx^3/3），所以我们把结果代到定积分，然后使用微积分第二定理，得到

例2.计算

看起来好像无从下手啊，但实际上我们有

令t=sin^-1 x，则

也就是

按照上一个例子，我们先计算不定积分以找到反导数

我们找到了反导数

然后把视线转到定积分，注意一点，在这里我们的做法与上一个例子不太相同

我们把积分上限和下限用t来表示，也就是把x=1/√2和x=√3/2分别代入t=sin^-1 x，就得到

t=π/3和t=π/3

也就是

求得

第二节 分部积分法

在学习这节之前，我们需要掌握一个公式：

（这个公式是利用链式求导法则的微分形式，然后在等号两边分别积分就得到的）

例1.假设要计算

令u=x并且dv=e^x dx，这时就有

现在我们还需要找到du和v，这样就可使用分部积分

du比较简单，du=dx（因为u=x，所以du/dx=1）

那v呢？我们只知道dv=e^x dx，即dv/dx=e^x，很明显那么v=e^x

现在就可以使用分部积分法了：

也就是

这就是答案了

例2.求

首先我们令u=x^2,dv=sinx dx

那么就有v=-cosx,du=2x

然后使用分部积分法：

即

然后我们发现，等号右边的第二项貌似还要使用一次分部积分法

没错，的确是的

先把等号右边的第二项的2提出来，然后使用分部积分

那么令U=x,dv=cosx dx

则V=-sinx, dU=dx

这样替代，就有：

即

然后代入回去，即得到