实变函数漫谈(17)为什么要勒贝格积分

传统积分的弊端其实就是将定义域无限分割之后希望在尽可能小的区间上函数值的波动也逐渐减小，但是这可能是不现实的，比如说我们在区间上取一个函数定义方式如下：在有理点取，在无理点取，这样的函数按照黎曼积分是不能定义的，但是你可以对进行一个分裂重新排布，变成有理点集合和无理点集合，它们不相交无理点不贡献积分，而有理点的积分应该是，所以勒贝格积分的优点其实是按照函数值对定义域进行了重排，想象把所有的有理点都安排在原点附近，剩下的部分全交给无理点，那么我们就仿佛得到了一个只有一级台阶的阶梯函数，而它本来是一个无限跳跃的阶梯函数。其实勒贝格积分的意义就是尝试将函数按照函数值进行分段，从而利用原像将定义域分段重排构造连续函数。所以也就是我们舍去了定义域上的序关系，从而让积分不再受到这些连续性的限制。