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垂心定理的证明

2021-08-12 15:55 作者:五行相生 0人读过 | 我要投稿

在上期专栏中, 我们证明了重心定理; 本期专栏, 我们来证明垂心定理:

三角形的 3 条高交于一点.

在证明之前, 我们需要介绍另一个定理: 在一个圆中, 同一条弧(或弦)所对的圆周角相等.

如下图, α 和 β 都是弦 AB 所对的圆周角, 则有 α = β.

关于它的证明, 大家可以参考初中课本; 下面我们进入正题.

首先, 我们考虑锐角 ΔABC,

作 AC 边上的高 BD, 作 AB 边上的高 CE,

设 BD 交 CE 于点 H, 连接 AH 并延长, 交 BC 于点 F.

∵ ∠ BEH = ∠ CDH = 90°, 且 ∠ BHE = ∠ CHD,

$%E2%88%B4%20~%5CDelta%20BEH%20%E2%88%BD%20%5CDelta%20CDH$

$%E2%88%B4~%20%5Cfrac%7BBH%7D%7BCH%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BEH%7D%7BDH%7D$

$%E2%88%B4~%20%5Cfrac%7BBH%7D%7BEH%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BCH%7D%7BDH%7D$

连接 DE ,

$%E2%88%B5~%20%5Cangle%20DHE%20%3D%20%5Cangle%20CHB%2C$

且 $~%20%5Cfrac%7BBH%7D%7BEH%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BCH%7D%7BDH%7D%2C$

$%E2%88%B4~%20%5CDelta%20DHE%E2%88%BD%20%5CDelta%20CHB$

则有 $~%5Cangle%20EDH%20%3D%20%5Cangle%20BCH%2C$

设 AH 的中点为 M, 连接 DM 和 EM,

在 Rt ΔAEH 中, AM 是斜边上的中线,

$%E2%88%B4~%20EM%20%3D%20%5Cfrac%7BAH%7D%7B2%7D%20~%2C$

同理, 在 Rt ΔADH 中,

$DM%20%3D%20%5Cfrac%7BAH%7D%7B2%7D%20~%2C$

$%E2%88%B4~%20AM%20%3D%20DM%20%3D%20EM%20%3D%20HM$

这说明, A, D, E, H 这 4 点共圆, 圆心为 M.

下面就要用到, 之前提到的圆周角的结论了.

在上述圆中, ∠EAH 和 ∠EDH , 都是弦 EH 对应的圆周角,

∴ ∠EAH = ∠EDH,

∵ 之前证了 ∠EDH = ∠BCH,

∴ ∠EAH = ∠BCH,

在 Rt ΔBCE 中,

$%5Cangle%20BCH%20%2B%20%5Cangle%20CBE%20%3D%2090%C2%B0$

$%E2%88%B5~%20%5Cangle%20EAH%20%3D%20%5Cangle%20BCH$

$%E2%88%B4~%20%5Cangle%20EAH%20%2B%20%5Cangle%20BCE%3D%2090%C2%B0$

$%E2%88%B5~%20%5Cangle%20EAH%20%2B%20%5Cangle%20BCH%20%3D%20%5Cangle%20AFC$

$%E2%88%B4~%20%5Cangle%20AFC%20%3D%2090%C2%B0$

$%E2%88%B4~%20AF%20%5Cbot%20BC$

根据高的定义, AF 就是 BC 边上的高, 而它正好经过另外 2 条高的交点, 至此, 我们就证明了, 锐角三角形的垂心定理.

然后, 我们考虑钝角三角形, 证明方法类似;

在钝角 ΔBCH 中, 钝角所在的顶点为 H, BH 边上的高为 CD,

CH 边上的高为 BE, 延长 CD 和 BE, 设交点为 A,

连接 AH 并延长, 交 BC 于点 F.

这个图形, 和我们证明锐角三角形的情况, 是相同的; 只不过, 一些点的角色要有变化;

这里的 H 是顶点, BE 和 CD 是高, A是这 2 条高的交点;

最终也可以证出 AF⊥BC, 方法相同.

对于直角三角形, 我们根据定义, 可知 3 条高线都经过直角顶点.

以上, 就是垂心定理的证明.

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