今天，我想来重新谈谈概率。本文假设读者了解概率论。

首先，本文从2个简单的概率问题出发，讨论概率问题的三个阶段（随机事件、条件、概率计算）；之后，本文引出概率和决定论的问题。

三门问题

第一步：已知有3扇门(ABC)，其中有一扇门后面有奖品，玩家不清楚是哪一个，主持人知道。玩家从中随机选择了一个A。

第二步：随后，主持人从玩家没选的门里打开了1扇 没有奖品的门。并给玩家一个选择：是继续保持原来的选择A，还是重新选择？

第三步：求这种情况下，两个剩下的门里有奖品的概率P(A)和P(非A)。

错误的思考

我曾于此，纠结了很长时间：还有2扇门，也没发现有什么区别，为什么不应该都是1/2的概率？(P(A)=P(B)=1/2)

这个错误的原因就在于实际上，A和B并不相同。在第一步，很显然P(A)=P(B)=P(C)=1/3，但是在第二步过后，正确的概率却变成了P(A)= 1/3，P(B)=2/3，P(C)=0。

三门问题提出后，引起了很多争议，大部分人都觉得是1/2。但经过重复实验，最终证实了P(A)= 1/3，P(B)=2/3，P(C)=0。

3个反例

如果主持人先从3门随机打开一扇门C，是没有奖品的。此时玩家再在剩余的2个门里，随机选择一个门，那么概率显然是1/2，此时实际上是条件概率，即P(A|C=0)=P(B|C=0)=1/2，即在C为0的情况下，AB再均分剩下的概率。

如果主持人先从3门故意打开一扇没有奖品的门C。此时玩家再在剩余的2个门里，随机选择一个门，那么概率显然也是1/2。此时不是条件概率，而是随机事件本身发生了变化，因为打开C是一个确定事件，因此题目直接排除了C，即“已知有2个门AB，其中一个有奖品”，此时P2(A)=P2(B)=1/2。

如果主持人是随机从剩下2个门中打开一个C，发现是没有奖品的，记这种情况为M。此时，也可以算得P(A|M)=P(B|M)=1/2，计算过程读者可以读完本文后，自行完成。直观上可以这样解释，因为随机的开牌，没有引入新的信息，所以剩余的可能性就会均分剩余的期望。

正确的计算过程

第一步：（随机情况发生）3个门ABC，1个有奖品，玩家随机选择1个，记为A。

第二步：（条件）主人打开一扇未选择的，无奖品的门。这里的关键在于主持人知道选择的门是无奖品的。

 

在第一步，有2种情况，A有奖品 或 A无奖品，显然P(A有奖品)=P(A)=1/3，P(A无奖品)= P(B+C)=2/3。

若A有奖品，则主持人无论选择什么，显然P(剩余的门有奖品|A有奖品)=0。

若A无奖品，则主持人无论选择什么，显然P(剩余的门有奖品|A无奖品)=1。

所以根据全概率公式，P(剩余的门有奖品)= P(剩余的门有奖品|A有奖品) P(A有奖品)+ P(剩余的门有奖品|A无奖品) P(A无奖品)=0*1/3+1*2/3=2/3。

同理，无论A是否有奖品，主持人都可以打开无奖品的门，因此：

P(A有奖品)= P(A有奖品|A有奖品) P(A有奖品)+ P(A有奖品|A无奖品) P(A无奖品)=1*1/3+0*2/3=1/3。

 

这里的关键在于理解，A和剩下的那个门是不一样的，剩下的门继承了打开的门的概率，而A没有。

 

两女孩问题

不论上一个问题是否理解，我们都可以结合这个问题再重新考虑。

已知某人有2个孩子，性别都可能是男女，忽略男女性别比差异，认为生男生女都是一半概率。

第一步：（随机事件发生）其母亲依次生下了2个孩子，对玩家来说性别均未知，但是母亲知道。

第二步：（条件）母亲告诉玩家，2个孩子其中有一个是女性。

第三步：求另一个是女性的概率。

 

错误的分析

显然，2个孩子没有关系，因为他们的性别是相互独立的。一个孩子是女孩，不影响另一个的性别。所以P(另一个是女性) = P(另一个是男性) =1/2。

正确的答案

P(另一个是女性)=1/3

2个反例

已知我和出题人是两个人，现在我是男性，出题人是男性的概率是1/3吗？答案：不是，是独立事件，是1/2。

第二步改为：母亲告诉玩家，2个孩子其中的一个A，A是女性。此时B是女性的概率就是1/2。

正确的解法

记2个孩子是AB，第一步一共有4中情况P(A女B女) = P(A女B男)= P(A男B女)= P(A男B男) =1/4。

第二步，条件是有女性（换句话说，至少有一个是女性），即P(有女性)=1-P(A男B男)=3/4发生了。

第三步，计算条件概率（根据条件概率的定义）：P(A女B女|有女性)= P(A女B女 且 有女性)/ P(有女性)= P(A女B女)/ P(有女性)=1/4/（3/4）=1/3，同理P(A女B男|有女性)= P(A男B女|有女性)=1/3。因此剩余的三种情况均分了概率。在这三种情况中，另一个孩子是女性的只有一种，因此P(另一个是女性)=1/3。

 

这里的关键在于，我们不知道哪个孩子是女性。如果知道，则退化为简单独立事件。但是由于不知道哪个孩子是女性，只能算伯努利分布+条件概率问题。

 

小结

我们对于概率的很多错误的直觉，实际上来自我们的生活实践经验。对于三门问题，我们天真的忽略的主持人的主观影响。对于两女孩问题，我们主观的把生活中常见的情况（知道谁是女孩）和题目要求（不知道谁是女孩）搞混。

实际上，我们在计算概率问题的时候，一定要明确随机事件到底发生在什么情况下。我们认为，随机事件发生的时刻，等概率是超验的。而后续的条件，则改变了前者的概率分布，如果是随机揭示，则剩余继续均分概率，如果是有主观参与的揭示，则可能改变剩余可能性概率的均等性。前者是一定情况下条件概率的快速算法，后者则是一般情况。

在现实世界中，随机事件实际上并没有那么“随机”。抛一枚硬币，它自由下落的正反面，按照牛顿力学就能完全计算出来，并非随机事件。决定论认为，一切“随机”都是源于我们对世界的无知。决定论认为，“随机”并非上帝在掷骰子，而是我们的认知能力（即使加上计算机）完全无法追赶“世界”运行的速度。如果有一个全能全知的拉普拉斯妖，则它的世界就可以没有“随机”。当然，我们不是上帝或拉普拉斯妖，我们不是全知的，所以我们只能用概率来建立模型，简化对“世界”的理解。

当然，如果考虑量子效应，世界是否是决定论的（即根据现在，能准确预测未来）也未可知。

 

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