微积分基础不稳固导致第二次数学危机

牛顿412、微积分基础不稳固导致第二次数学危机

 

微积分（数学概念）：…

…微、分、微分：见《牛顿321~336》…

…积、分、积分：见《牛顿337~405》…

…微积分：见《牛顿407》…

…数、学、数学：见《欧几里得49》…

（…《欧几里得》：小说名…）

 

…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

微积分历史
…历、史、历史：见《欧几里得111》…

…微积分历史：见《牛顿407~411》…

 

…

第二次数学危机的补救

 

第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是法国数学家达朗贝尔。

…意、见、意见：见《富田兴合苑业主的大事小事548》…

（…《富田兴合苑业主的大事小事》：小说名…）

 

…家：掌握某种专门学识或从事某种专门活动的人：专～。画～。政治～。科学～。艺术～。社会活动～…见《欧几里得92》…

…达朗贝尔（1717～1783）：法国著名的物理学家、数学家和天文学家…

他在1754年指出，必须用更可靠的理论去代替当时使用的、粗糙的极限理论。

…理、论、理论：见《欧几里得5》…

…极、限、极限：见《牛顿202~321》…

 

但是他本人未能提供这样的理论。

最早使微积分严格化的是拉格朗日。

…严、格、严格：见《欧几里得125》…

…化：后缀。加在名词或形容词之后构成动词，表示转变成某种性质或状态：绿～。美～。恶～。电气～。机械～。水利～…见《欧几里得2》…

…拉格朗日一般指约瑟夫·拉格朗日…

…约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）：全名为约瑟夫·路易斯·拉格朗日，法国著名数学家、物理学家。

（…物、理、物理，学、物理学：见《欧几里得139》…）

 

1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒（zú）于巴黎。

（…卒：死亡：生～年月…见《欧几里得35》…）

 

他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出…

[…力、学、力学：见《伽利略49、50》…

（…《伽利略》：小说名…）

 

…天、文、天文，天文学：见《伽利略1》…

…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…]

 

为了避免使用无穷小推理和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒公式的基础上。

…无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280》…

…推、理、推理：见《欧几里得12》…

…基、础、基础：见《欧几里得37》…

但是，这样一来，考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛（liǎn）问题，所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠（diàn）基问题。

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…范、围、范围：见《欧几里得39》…

…级数：也叫无穷级数…见《伽利略57》…

…收、敛、佥、收敛：见《牛顿215》…

…幂：见《欧几里得113》…

…工、具、工具：见《欧几里得161、162》…

…代、数、代数：见《欧几里得36》…

…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…

…奠、基、奠基：见《欧几里得115》…

 

到了19世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极为微积分的奠基工作而努力，其中包括了捷克的哲学家波尔查诺，他曾著有《无穷的悖（bèi）论》，明确地提出了级数收敛的概念，并对极限、连续和变量有了较深入的了解。

…工、作、工作：见《伽利略22》…

…哲、学、哲学：见《欧几里得110》…

…悖、论、悖论：见《欧几里得27》…

…连、续、连续：见《欧几里得44》…

…变、量、变量：见《欧几里得29》…

 

分析学的奠基人，法国数学家柯西在1821—1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。在那里他给出了数学分析一系列的基本概念和精确定义。

…分、析、分析：见《欧几里得36》…

…计、算、计算：见《欧几里得157》…

…基、本、基本：见《欧几里得2》…

…精、确、精确：见《牛顿25》…

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

 

“对分析基础做更深一步的理解”的要求发生在1874年。那时的德国数学家维尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数，即构造了一条没有切线的连续曲线，这与直观概念是矛盾的。

…理、解、理解：见《欧几里得58》…

…魏尔斯特拉斯：见《牛顿234》…
…维尔斯特拉斯函数：见《牛顿236》…

…构、造、构造：见《牛顿59》…

…导、数、导数：见《牛顿288~295》…

…切、线、切线：见《牛顿288》…

…直观：见《牛顿220》…

…矛、盾、矛盾：见《欧几里得72》…

 

它（维尔斯特拉斯函数）使人们认识到极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。

…认、识、认识：见《欧几里得51》…

…实、数、实数：见《欧几里得37》…

…系：见《欧几里得25》…

 

黎曼发现，柯西没有必要把他的定积分限制于连续函数。

…定，积、分、积分，定积分：见《牛顿337~351》…

 

黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。也就是将柯西积分改进为黎曼积分。

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

 

这些事实使我们明白，在“为分析建立一个完善的基础”方面，还需要再深挖一步：理解实数系更深刻的性质。

…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…

…深、刻、深刻：见《欧几里得133》…

…性、质、性质：见《欧几里得37》…

 

这项工作最终由维尔斯特拉斯完成，使得数学分析完全由实数系导出，脱离了知觉理解和几何直观。

…知、觉、知觉：见《牛顿144》…

…几、何、几何：见《欧几里得28》…

 

这样一来，数学分析所有的基本概念都可以通过实数和它们的基本运算表述出来。

…运、算、运算：见《欧几里得121》…

 

微积分严格化的工作终于接近封顶，只有关于无限的概念没有完全弄清楚，在这个领域，德国数学家康托尔做出了杰出的贡献。

 

总之，微积分基础不稳固导致第二次数学危机。

柯西的贡献在于，将微积分建立在极限理论的基础上。

维尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了实数论。

…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…

 

因此，建立分析基础的逻辑顺序是实数系——极限论——微积分。

 

“18世纪被称为数学史上的英雄世纪：微积分被应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，并获得了丰硕的成果。

 

请看下集《牛顿413、驱动18世纪的微积分学不断向前发展的动力是物理学的需要》”

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