数学实现信号变换[1]: 傅里叶级数

假设现在有一个周期函数 f(t), 而且我们不知道它的表达式, 但是我们知道它的图像(强度),   所以我们可以有办法知道它的表达式

我们知道它是周期函数, 并且知道它的周期为T, 那么实际上知道它一个周期就知道了它的全部信息, 那么这个函数我们可以截取一个周期出来进行分析, 我们可以选择 [-T/2, T/2) , 也可以是 [0, T) , 因为工程上不太喜欢负数, 所以我们选取 [0, T) .

因为是周期函数, 我们猜想它可以用一大堆正弦函数模拟出来 (是猜想, 不一定符合所有情况)

选取这些正弦函数也很有学问, 因为f(t)的周期是T, 所以正弦函数的周期只能是T的整分数倍, 也就是 T/n (n是整数) , 那么它们的频率只能是 n/T 了, 而且n的取值也不用考虑负数, 因为负数频率会和相对应的正数频率互相抵消一部分,    所以总的来说 f(t) 可以表达成这种形式:

那么我们怎么确定An和ψn呢?

事实上, ψ是这个坏文明, 异常难计算 (是真的),  所以我们把cos拆成sin和cos (高中里叫三角什么什么式子来着?)

然后我们记     An·cos(ψn) = an      An·sin(ψn) = bn    , 那么原来的式子就变成了没有相位的cos和sin相加的函数

那么我们怎么求an和bn呢   也就是求各个频率的cos和sin的权重

在积分学里有两条很神奇的式子:

第一条式子告诉我们,  在积分中,  不同频率的sin互不干扰 (在周期内, 切频率相差整数倍),   同理也适用在cos中

第二条式子告诉我们, 在积分中, sin和cos互不干扰 (在周期内)

那就真的非常神奇了, 我们不就可以用啧两条式子去提取  f(t) 理想函数中的an和bn了?     只要在积分式前面除以一个π以抵消第一条式子的第二个情况产生的π就完美了

这里说一下, 第一条式子的第二个结果π产生的原因是    范围我在[-π, π]中, 区间长度是2π, 而结果的π其实就是区间长度的一半, 所以是不应该说成π的, 应该为T/2

很多读者看到这两条式子肯定会想:    ???式子里面怎么有f(t)呢, 我们不是不知道f(t)然后在求解f(t)吗???

这个问题问得非常好, 我也不知道怎么跟你解释, 因为拉普兰德只是一条傻狗,  事实上, 我们并不需要关心f(t)是个什么东西, 重要的是an和bn, 我们用数学方法把一个不知道什么东西的函数跟正弦函数扯上了关系,  这也代表我们已经到达神的境界了,    (事实上我是真的不会解释.....)

考虑了很久之后觉得可以摸一段落,  让我们来看看今天的成果吧

已知橙色的原函数, 再经过上面的求an,bn, 然后代入f(t)的理想函数中累加,     我这里只累加了7次,  只要一直累加下去会越来越接近原函数的

注: 如果观众们打算自己验证一次的话, 会发现计算结果不是这个样子的,  tips: 把n=0的哪一项除以2就是正确结果了      我也不知道怎么跟你解释, 因为拉普兰德只是一条傻狗, 其实我是知道怎么回事的, 但是这个问题已经超出数学范围了, 这里就不解释吧

后面还是希望大家可以把这个系列推荐给身边对这种东西感兴趣的人吧

对数学细节感兴趣的读者可以期待一下遥遥无期的附章wwwwwww

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