《几何原本》命题3.9【夸克欧氏几何】

命题3.9：

如果圆内一点向能向圆上引两条以上相等的线段，那么该点是该圆的圆心

已知：圆ABC，点D在圆ABC内，由点D向圆上引AD=BD=CD

求证：点D是圆ABC的圆心

解：

连接AB，BC

（公设1.1）

取AB，BC中点E，F

（命题1.10）

过点D，点E作直线交圆ABC于点G，K

（公设1.1）

过点D，点F作直线交圆ABC于点H，L

（公设1.1）

证：
∵点D是圆ABC的圆心

（已知）

∴AD=BD

（定义1.15）

∵AE=BE，DE公用

（已知）

∴△ADE≌△BDE，∠AED=∠BED

（命题1.8）

∴∠AED，∠BED是直角

（定义1.0）

∴DE⊥AB

（定义1.10）

∵点E是AB中点

（已知）

∴圆ABC的圆心在直线DE上

（命题3.1推论）

同理可证，圆ABC的圆心在直线DF上

∵DE，DF交于点D

（已知）

∴点D是圆ABC的圆心

证毕

此命题将在命题3.25中被使用

PS：此命题实际上包含在命题3.7中，但在此命题中欧几里得并没有直接使用命题3.7进行反证