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Rayleigh衰落信道下的误比特率BER分析

2023-04-19 23:36 作者:乐吧的数学  | 我要投稿

(录制的视频在:https://www.bilibili.com/video/BV1V24y1c7dL/)

这篇文章分析 Rayleigh 衰落信道下的误比特率,在 AWGN 信道误比特率的基础上推导有 Rayleigh 衰落情况下的误比特率。

y%20%3D%20hx%20%2B%20w%20%20%5Ctag%201


发送符号 x 用 BPSK 调制,h 是复高斯分布的随机变量,其中每一维度(实部和虚部)是满足均值为 0 ,方差为 1/2 的高斯分布,则 h 的模长的平方,符合 Rayleigh 分布:
p(z)%20%3D%20%5Cfrac%7Bz%7D%7B%5Cdelta%5E2%7D%20e%5E%7B-%5Cfrac%7Bz%5E2%7D%7B2%5Cdelta%5E2%7D%7D%20%3D%202z%20e%5E%7B-z%5E2%7D%20%20%20%5Ctag%202

如果信号的能量为 Es, 不考虑 h 情况下的信噪比为:

SNR%20%3D%20%5Cfrac%7BEs%7D%7BN_0%7D%20%3D%20%5Cmu%20%20%5Ctag%203


考虑 h 后,信噪比就变成

%5Cfrac%7B%7Ch%7C%5E2%20E_s%7D%7BN_0%7D%20%3D%20a%5E2%20%5Cmu%20%20%5Ctag%204
其中  a = |h|,  根据高斯白噪声信道下 BPSK 调制后的误比特率公式:

BER%20%3D%20Q(%5Csqrt%20%7BSNR%7D)%20%3D%20Q(%5Csqrt%7Ba%5E2%20u%7D)%20%5Ctag%205


而 h 本身也是随机变量,所以,再根据 h 的概率分布,计算 公式 (1) 下的平均误比特率:

%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20Q(%5Csqrt%7Ba%5E2%20u%7D)%20p(a)%20da%20%5Ctag%206
把 (2) 代入 (6) 有:
%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20Q(%5Csqrt%7Ba%5E2%20u%7D)%20p(a)%20da%20%3D%20%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20Q(%5Csqrt%7Ba%5E2%20u%7D)%202a%20e%5E%7B-a%5E2%7D%20da%20%5Ctag%207把 Q 函数也代入 (7):
%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%0A%5C%7B%20%5Cint_%7B%5Csqrt%7Ba%5E2u%7D%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%20e%5E%7B-%5Cfrac%7Bt%5E2%7D%7B2%7D%7D%20dt%20%20%20%5C%7D%0A2a%20e%5E%7B-a%5E2%7D%20da%20%5Ctag%208

对公式 (8) 的内层积分做积分变量代换,令:

y%20%3D%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%20%5Cmu%7D%7D

 则公式 (8) 变成(第二个等号是做积分顺序交换):

%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%0A%5Cleft%20%5C%7B%20%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%20e%5E%7B-%5Cfrac%7Ba%5E2%20%5Cmu%20y%5E2%7D%7B2%7D%7D%20d(y%5Csqrt%7Ba%5E2%20%5Cmu%7D%20)%20%20%5Cright%20%5C%7D%202a%20e%5E%7B-a%5E2%7D%20da%0A%26%3D%20%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20%20%5Cfrac%7B2a%5E2%20%5Csqrt%7B%5Cmu%7D%20%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%20%20%20%20%0A%20%20%20e%5E%7B-%5Cfrac%7Ba%5E2%20(%5Cmu%20y%5E2%20%2B%202)%7D%7B2%7D%7D%20%20dy%20%20da%0A%20%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%0A%0A%26%3D%20%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20%5Csqrt%7B%5Cmu%7D%20%5Cleft%20%5C%7B%202%20%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20%20%5Cfrac%7Ba%5E2%20%20%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%20%20%20%20%0A%20%20%20e%5E%7B-%5Cfrac%7Ba%5E2%20(%5Cmu%20y%5E2%20%2B%202)%7D%7B2%7D%7D%20da%20%5Cright%20%5C%7D%20dy%0A%20%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%0A%20%20%20%0A%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Ctag%209


公式 (9) 的最内层积分中,我们令

%5Csigma%20%5E2%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmu%20y%5E2%20%2B%202%7D%20%20%20%5Ctag%7B10%7D


则公式 (9) 变成:

%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20%5Csqrt%7B%5Cmu%7D%20%5C%7B%202%20%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20%20%5Cfrac%7Ba%5E2%20%20%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%20%20%20%20%0A%20%20%20e%5E%7B-%5Cfrac%7Ba%5E2%20%7D%7B2%20%5Csigma%5E2%7D%7D%20da%20%5C%7D%20dy%20%20%3D%20%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20%5Csqrt%7B%5Cmu%7D%20%5Csigma%20%5C%7B%202%20%5Cint_0%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20%20%5Cfrac%7Ba%5E2%20%20%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%20%5Csigma%7D%20%20%20%20%0A%20%20%20e%5E%7B-%5Cfrac%7Ba%5E2%20%7D%7B2%20%5Csigma%5E2%7D%7D%20da%20%5C%7D%20dy%20%20%5Ctag%7B11%7D


公式 (11) 中的内层积分,就是均值为 0 ,方差为 %5Csigma%5E2 的高斯分布的方差,则公式 (10) 就推导为:
%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20%5Csqrt%7B%5Cmu%7D%20%5Csigma%20%5Csigma%5E2%20dy%20%3D%20%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20%5Csqrt%7B%5Cmu%7D%20%5Csigma%5E3%20dy%20%20%5Ctag%7B12%7D

将 (10) 代入 (12)有:
%5Cint_1%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%20%5Csqrt%7B%5Cmu%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B(%5Cmu%20y%5E2%20%2B%202)%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D%20dy%20%20%5Ctag%7B13%7D

对公式 (13) 的积分再做变量代换,令:
y%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cmu%7D%7D%20tan%5Ctheta%20%20%20%5Ctag%7B14%7D则当:
%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26y%3D1%2C%20%20%20%26%5Ctheta%20%3D%20tan%5E%7B-1%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cmu%7D%7B2%7D%7D%20%20%20%20%5C%5C%0A%26y%3D%2B%5Cinfty%2C%20%26%20%5Ctheta%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Ctag%7B15%7D

则公式 (13) 变成:
%5Cint_%7B%20tan%5E%7B-1%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cmu%7D%7B2%7D%7D%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20%7D%20%5Csqrt%7B%5Cmu%7D%20(%5Cmu%20y%5E2%20%2B%202)%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%20dy%20%20%0A%3D%20%5Cint_%7B%20tan%5E%7B-1%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cmu%7D%7B2%7D%7D%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20%7D%20%20%5Csqrt%7B%5Cmu%7D(%5Cmu(%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cmu%7D%7D%20tan%5Ctheta)%5E2%20%2B%202)%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%20d(%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cmu%7D%7D%20tan%5Ctheta)%0A%5Ctag%7B16%7D

其中:

(%5Cmu(%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cmu%7D%7D%20tan%5Ctheta)%5E2%20%2B%202)%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%20%3D%20(2tan%5E2%5Ctheta%20%2B%202)%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%20%3D%202%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%5E%7B3%7D%5Ctheta%7D%20%20%20%5Ctag%7B17%7D


以及
d(%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cmu%7D%7D%20tan%5Ctheta)%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cmu%7D%7D%20cos%5E2%20%5Ctheta%20%20%5Ctag%20%7B18%7D

把公式 (17)(18) 代入公式 (16) 有:

%5Cint_%7B%20tan%5E%7B-1%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cmu%7D%7B2%7D%7D%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%20cos%5Ctheta%20d%20%5Ctheta%20%20%5Ctag%7B19%7D%0A%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%20sin%5Ctheta%20%7C_%7B%20tan%5E%7B-1%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cmu%7D%7B2%7D%7D%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%20%20%5Cleft%20(1%20-%20sin(tan%5E%7B-1%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cmu%7D%7B2%7D%7D)%5Cright%20)%20


其中

sin(x)%20%3D%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7Btan%5E2%20x%7D%7B1%2Btan%5E2%20x%7D%7D


则:
%5Cbegin%7Baligned%7D%0Asin(tan%5E%7B-1%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cmu%7D%7B2%7D%7D)%20%26%3D%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7Btan%5E2%20(tan%5E%7B-1%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cmu%7D%7B2%7D%7D)%7D%7B1%2Btan%5E2%20(tan%5E%7B-1%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cmu%7D%7B2%7D%7D)%7D%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%0A%26%3D%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cmu%7D%7B2%7D%7D%5E2%20%20%7D%7B1%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cmu%7D%7B2%7D%7D%5E2%7D%20%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%26%3D%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B%5Cmu%20%7D%7B2%2B%5Cmu%7D%20%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Ctag%20%7B20%7D

把 (20) 代入 (19)得到:
%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cleft%20(%20%20%201%20-%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B%5Cmu%20%7D%7B2%2B%5Cmu%7D%20%7D%20%5Cright%20)%20%20%20%5Ctag%7B21%7D

注意: 很多教科书和资料中,公式 (21) 是写成:
%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cleft%20(%20%20%201%20-%20%5Csqrt%7B%20%5Cfrac%7B%5Cmu%20%7D%7B1%2B%5Cmu%7D%20%7D%20%5Cright%20)%20%20%20%5Ctag%7B21%7D

那是因为对信道系数 h 的统计特性,有不同的假设,即假设均值为 0 ,方差为 1 的,也就是公式 (2)变成:
p(z)%20%3D%20%5Cfrac%7Bz%7D%7B%5Cdelta%5E2%7D%20e%5E%7B-%5Cfrac%7Bz%5E2%7D%7B2%5Cdelta%5E2%7D%7D%20%3D%20z%20e%5E%7B-%5Cfrac%7Bz%5E2%7D%7B2%7D%7D%20%20%20%5Ctag%20%7B22%7D



另外需要注意的是,使用 (2) 和 (22) 的公式得出的曲线,这两个是会不一样,因为 h 的概率分布变了,自然误比特率也有不同。






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