Rayleigh衰落信道下的误比特率BER分析

(录制的视频在：https://www.bilibili.com/video/BV1V24y1c7dL/）

这篇文章分析 Rayleigh 衰落信道下的误比特率，在 AWGN 信道误比特率的基础上推导有 Rayleigh 衰落情况下的误比特率。

发送符号 x 用 BPSK 调制，h 是复高斯分布的随机变量，其中每一维度（实部和虚部）是满足均值为 0 ，方差为 1/2 的高斯分布，则 h 的模长的平方，符合 Rayleigh 分布：

如果信号的能量为 Es， 不考虑 h 情况下的信噪比为：

考虑 h 后，信噪比就变成


其中  a = |h|,  根据高斯白噪声信道下 BPSK 调制后的误比特率公式：

而 h 本身也是随机变量，所以，再根据 h 的概率分布，计算 公式 (1) 下的平均误比特率：


把 (2) 代入 (6) 有：
把 Q 函数也代入 (7):

对公式 (8) 的内层积分做积分变量代换，令:

 则公式 (8) 变成（第二个等号是做积分顺序交换）：

公式 (9) 的最内层积分中，我们令

则公式 (9) 变成：

公式 (11) 中的内层积分，就是均值为 0 ，方差为  的高斯分布的方差，则公式 (10) 就推导为：

将 (10) 代入 （12）有：

对公式 (13) 的积分再做变量代换，令：
则当：


则公式 (13) 变成：

其中：

以及

把公式 (17)(18) 代入公式 (16) 有：

其中

则：

把 (20) 代入 （19）得到：

注意： 很多教科书和资料中，公式 (21) 是写成：

那是因为对信道系数 h 的统计特性，有不同的假设，即假设均值为 0 ，方差为 1 的，也就是公式 （2）变成：




另外需要注意的是，使用 (2) 和 (22) 的公式得出的曲线，这两个是会不一样，因为 h 的概率分布变了，自然误比特率也有不同。