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证明圆的极线为直线（平面几何方法）

2022-09-12 15:17 作者:奥博格沙特 0人读过 | 我要投稿

过 $P$ 作直线与 $%5Codot%20O$ 交于两点. 这两点处的切线交于 $T$ ，证明： $T$ 的轨迹为直线.

（称该直线 $l_P$ 为 $P$ 关于 $%5Codot%20O$ 的极线）

图1

思路1：如图1. 直接证 $T_1%2C%20T_2%2C%20T_3$ 共线. 这种思路虽然直接，但较为难证. 所以我们换一种思路.

思路2：利用对称性.

当 $P$ 在圆内时，

如图2. 弦 $AB%5Cbot%20OP$ 于点 $P$ ， $A%2CB$ 处的切线交于 $T$ . 弦 $CD$ 为过点 $P$ 的任一弦， $C%2CD$ 处的切线交于 $T'$ .

图2

根据对称性，应有 $TT'%20%5Cbot%20OP$ .

只需证 $%5Cforall%20T'%2C%20TT'%20%5Cbot%20OP$ .

$%5Ciff%20M%2C%20P%2C%20T%2C%20T'$ 共圆

由射影定理，

$OP%5Ccdot%20OT%3DOB%5E2%3DOC%5E2%3DOM%5Ccdot%20OT'$

$%5Cimplies%20M%2C%20P%2C%20T%2C%20T'$ 共圆.

$Q.E.D.$

当 $P$ 在圆外时，

如图3. 弦 $AB$ 为过点 $P$ 的一条定弦， $A%2C%20B$ 处的切线交于 $T$ . 弦 $CD$ 为过点 $P$ 的任一弦， $C%2C%20D$ 处的切线交于 $T'$ . 不妨考虑 $T%2C%20T'$ 在 $OP$ 两侧的情况（同侧的情况类似）

图3

根据对称性，应有 $TT'%20%5Cbot%20OP$ .

只需证 $%5Cforall%20T'%2C%20TT'%20%5Cbot%20OP$ .

$%5Ciff%20%E2%88%A0OT'T%20%2B%20%E2%88%A0POT'%20%3D%2090%C2%B0$

由射影定理，

$OM%20%5Ccdot%20OT%20%3D%20OB%5E2%20%3D%20OD%5E2%20%3D%20OM'%20%5Ccdot%20OT'$

$%5Cimplies%20M%2C%20T%2C%20T'%2C%20M'$ 共圆

$%5Cimplies%20%E2%88%A0OT'T%20%3D%20%E2%88%A0OMM'$

$%E2%88%A0OMP%20%3D%20%E2%88%A0OM'P%20%3D%2090%C2%B0$

$%5Cimplies%20O%2C%20M%2C%20P%2C%20M'$ 共圆

$%5Cimplies%20%E2%88%A0POT'%20%3D%20%E2%88%A0POM'%20%3D%20%E2%88%A0PMM'$

$%E2%88%B4%E2%88%A0OT'T%2B%E2%88%A0POT'%3D%E2%88%A0OMM'%2B%E2%88%A0PMM'%3D90%C2%B0$

$Q.E.D.$

本文中的方法仅为个人方法，如有雷同，纯属巧合.

如果读者有其他方法，或者有问题，欢迎分享交流！

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