常微分方程笔记（三）
前言：本节继续介绍一阶ODE的解法.本节介绍了恰当微分方程及积分因子法，以及一阶隐式微分方程常见形式的解法.
2.3恰当微分方程及积分因子
2.3.1恰当微分方程
定义：形如：
（2.25）
其中在考虑矩形域内是x，y的连续函数，且具有一阶偏导数.
如果方程（2.25）的左边刚好是某个二元函数的全微分，即：
（2.26）
那么就称其为恰当微分方程（全微分方程）.易知其通解为：
（2.27）
解法：（1）用恰当方程的判定求解
定理1：二元函数在某单连通域内是x,y的连续函数，且具有连续的一阶偏导数，则方程
为恰当微分方程的充要条件是
该解法即定理1的充分性证明【必要性可利用（2.26）式证明】：
把（2.25）式两边对x积分得
（2.28）
这里式关于y的任意可导函数，与x无关.两边对y求导得：
因此
（2.29）
再将两边对x求偏导，显然右端恒等于0.事实上有：
（2.30）
又由于二元函数在某单连通域内是x,y的连续函数，且具有连续的一阶偏导数，因此（2.30）中对x,y的求导顺序可以交换.再利用
，可得：
于是（2.29）式右端为y的一元函数，两边积分可得：
（2.31）
将（2.31）代入至（2.28）式可得公式：
（2.32）
（2）利用曲线积分求
命题1：设二元函数在某单连通区域D内是x,y的连续函数，且具有连续的一阶偏导数，则对D内任一按段光滑曲线L，曲线积分在区域D内的积分
与路径无关的充要条件是
.
利用命题1从定点到动点
选择简单路径进行积分：
（2.33）
（2.34）
（3）分项组合方法（凑“全微分”）
需要熟记简单的二元函数全微分：如：
2.3.2积分因子
定义：如果不是一个恰当微分方程，那么可以通过将都乘以一个连续可微函数
，使得
（2.35）
为一恰当微分方程，即存在光滑的函数，使得
（2.36）
则称为方程（2.25）的积分因子.
此时有： （2.37）
由（2.37）式得：寻求可微函数等价于求解一阶偏微分方程
（2.38）
另外，同一个方程可以有不同的积分因子.可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不唯一，从而使通解有不同的形式.
这里一种特殊形式的积分因子：
（1）偏微分方程（2.38）有一个只依赖x的解的充要条件是，由下式定义的函数G只依赖于x：
（2.39）
此时有： （2.40）
（2）偏微分方程（2.38）有一个只依赖y的解的充要条件是，由下式定义的函数H只依赖于x：
（2.41）
此时有： （2.42）
（3）方程（2.25）有形如的积分因子的充分必要条件是：
（2.43）
其中f为某个一元函数.
（P.S 求解恰当微分方程时，如果使用公式只需要把原函数积分出来即可，比如对x积分时，不需要带上仅含y的函数
）
2.4一阶隐式微分方程与参数表示
一阶隐式微分方程形式为
本节主要讨论下面四种类型：
，
，
，
2.4.1可以解出y（或x）的方程
（1）首先讨论形如
（2.37）
的方程，这里假设具有连续偏导数.
引入参数p，令.则方程（2.37）变为
（2.38）
将两边对x求导，并将代入，得
（2.39）
(2.39)式即可按照2.1-2.3节解之.
若（2.39）式的通解为，代入（2.38）式得
即为（2.37）式的通解.
若（2.39）式的通解为，则（2.37）式的通解为参数方程形式：
（其中p为参数，c为任意常数）.
若（2.39）式的通解为，则（2.37）式的通解为参数方程形式：
（其中p为参数，c为任意常数）.
（2）讨论形如
（2.40）
的方程，这里假设具有连续偏导数.
引入参数p，令，将（2.40）式两边对y求导，并将
代入，得
（2.41）
(2.41)式是关于y,p的一阶微分方程，可按照2.1-2.3节解之.
若（2.40）式的通解为，则（2.37）式的通解为参数方程形式：
（其中p为参数，c为任意常数）.
2.4.2不显含y（或x）的方程
（3）讨论形如
（2.42）
的方程.令，方程化为
，代表Oxp平面上的一条曲线.如果把曲线表示成参数方程形式：
（2.43）
t为参数.代入，得
.两边积分，得
.代入（2.42）即可得原方程参数形式的通解
，c为任意常数
（4）讨论形如
（2.42）
的方程.其解法与（2.42）的解法相似.
令，方程化为
，代表Oyp平面上的一条曲线.如果把曲线表示成参数方程形式：
（2.43）
t为参数.代入，得
.两边积分，得
.代入（2.42）即可得原方程参数形式的通解
，c为任意常数.
当时，
有实根
，即
也是方程的解.
