【趣味数学题】从虚数到实数

2021-08-10 13:45 作者:AoiSTZ23 0人读过 | 我要投稿

郑涛 (Tao Steven Zheng) 著

【问题】

求所有 $%20i%5Ei%20$ 的数值。

【题解】

解这道问题需要用欧拉公式（Euler Formula）： $%7Be%7D%5E%7Bix%7D%20%3D%20%5Ccos(x)%20%2B%20i%5Csin(x)$ 。

因为 $i$ 只是个虚数，所以 $i$ 可以表示为

$i%20%3D%20%5Ccos%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Cright)%20%2B%20i%5Csin%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Cright)$

因此

$i%20%3D%20%7Be%7D%5E%7B%5Cfrac%7Bi%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%20$

然后

$i%5Ei%20%3D%20%5Cleft(%7Be%7D%5E%7B%5Cfrac%7Bi%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5Cright)%5Ei%20%3D%20%5Cleft(%7Be%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%7Bi%7D%5E%7B2%7D%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5Cright)$

因为 $%20i%5E2%20%3D%20-1%20$ ，所以

$i%5Ei%20%3D%20%7Be%7D%5E%7B-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%20$

我们发现 $i%5Ei$ 其实是一个实数! 用小数点表示大约是 0.207879576。

因为正弦函数和余弦函数的周期（period）都是 $2%5Cpi$ ，对于任何整数 $n$ ， $i%5Ei%20$ 有无穷多个解：

$i%5Ei%20%3D%20%7Be%7D%5E%7B-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20%2B%202%5Cpi%20n%7D%20%2C%20%20%5Cquad%20n%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D$

标签：数学教育科普高考考试学习复数代数算术郑涛

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