矩阵半群的极大幂零子半群的完全刻画

本文中我们证明如下结论：任意域上，严格上三角矩阵半群在同构意义下是nxn矩阵半群的唯一极大幂零子半群。 定义：一个含吸收元0的半群G称作幂零半群，当且仅当G的所有元素均为幂零元（即：对于任意的g属于G，存在正整数n使得g^n=0）。 定理1: 任意域k上，严格上三角矩阵半群G是nxn矩阵半群R的一个极大幂零子半群。 证明：取任意不在G中的矩阵A=(aij)，记m=max{i-j: aij不等于0}，则m>=0。记n阶若当块为J，则A·J^m为上三角矩阵且主对角线元素不全为零。特别的，A·J^m有一个非零特征值。若{A}与G的并集的生成子半群是幂零半群，则A·J^m幂零，矛盾。Q.E.D. 定理2: 任意域k上，nxn矩阵半群R的任意幂零子半群G中的所有元素可同时上三角化。 证明：半群代数k[G]到矩阵代数R=End(k^n)的k-子代数包含映射ρ是k^n上的忠实k-表示。因为G幂零，k[G]中所有元素的迹均为零，我们得到ρ的特征标与k[G]的平凡表示的特征标正交。由矩阵代数的Burnside定理，ρ可约。对n做数学归纳法易得所需结论。Q.E.D. 定理3: 任意域k上，nxn矩阵半群R的极大幂零子半群（在相差一个GLn(k)共轭作用的意义下）唯一。 证明：令G为R的一个极大幂零子半群。由定理2，不失一般性我们假设G为上三角矩阵半群的一个子半群。因为G中元素均为幂零矩阵，事实上G是严格上三角矩阵半群的子集。又由定理1和G的极大性，可知G就等于严格上三角矩阵半群。Q.E.D. 综合定理1&3即得结论：任意域上，严格上三角矩阵半群在同构意义下是nxn矩阵半群的唯一极大幂零子半群。