学不明白的数学分析（五十五）

2023-02-16 15:55 作者:不能吃的大鱼 0人读过 | 我要投稿

开始了！新的篇章！

我们前面将级数的内容介绍完了，虽然最后给出的应用部分略显草率，但是因为本身也并非十分重要的内容，因此一笔略过。从这一篇开始呢，我们就要进入到与级数对应的反常积分部分了。这一部分按照参考教材的顺序来说，应该是后接Fourier级数与分析的内容。但是呢，由于最后还有一章比较重要的含参变量反常积分的部分，而这与我们这一章反常积分是相对应的，不好割裂开来。所以我想了一下，打算把含参变量反常积分放在反常积分这一章后面，最后再来介绍Fourier分析。

前面我们在介绍一元函数定积分的时候有说到过，这一章我们会较为深入的介绍有关反常积分的各种知识，所以前面就没有提及任何有关反常积分的内容。那么现在，我们要先从基本概念入手，来逐渐地探讨有关反常积分的各种内容。

Chapter Sixteen 反常积分

16.0 反常积分的概念与计算（预备节）

在正式介绍有关反常积分的内容之前，我们还是首先要将反常积分的基本概念介绍清楚。

反常积分，顾名思义，就是与我们之前所定义的积分（Riemann积分）有一些出入的积分。从形式与性质上，这一类积分未必符合Riemann积分的定义，因而称之为“反常”积分。

我们之前所介绍的定积分，都是定义在有限闭区间上的。在此基础之上，我们才能够引入Riemann和的定义。但是，很多时候，我们研究某些问题的需要，迫使我们从定义上拓宽可以使得积分存在的区间。比如说，物理学中对于场的作用的研究，需要我们将积分定义在无穷区间上。对于正无穷区间而言，一般写作：

$%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)%5Ctext%20dx$

那么，传统的Riemann和便不再容易被构造出来了。（甚至是找不到一个合理的形式来作为Riemann和。）因此，用我们已有的定积分的知识便不能够解决相关的问题。

为了解决这一定义上的问题，我们设想借助已有的常义定积分的Riemann和定义，合理推及以期望得到想要的结果：

设函数 $f$ 定义在 $%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)$ 上，且对于任意闭子区间：

$%5Ba%2CA%5D%5Csubset%20%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)$

函数在这一区间上都可积，即：

$I(A)%3D%5Cint_a%5EA%20f(x)%5Ctext%20dx%20$

存在且有限。则很自然地，我们就可以想到，如果极限：

$%5Clim_%7BA%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20I(A)%3D%20%5Clim_%7BA%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cint_a%5E%7BA%7D%20f(x)%5Ctext%20dx$

存在且有限，那么我们就可以让极限值作为该类积分的值，并称该积分收敛，或说这一积分广义可积。也就是说：

$%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%3D%5Clim_%7BA%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cint_a%5EAf(x)%5Ctext%20dx%20$

由于这一积分定义在无穷区间上，因此至少有一个积分限是无穷大，故我们称之为无穷限积分，简称为无穷积分。那么上述描述就可以表达为“无穷积分（广义）收敛”；与之对应，如果这一极限发散，就称“这一无穷积分发散”。

类似地，我们也可以定义：

$%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5Eaf(x)%5Ctext%20dx%3D%5Clim_%7BA%5Cto-%E2%88%9E%7D%20%5Cint_A%5Eaf(x)%5Ctext%20dx%20$

现在，还有最后一类无穷积分没有定义：

$%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)%5Ctext%20dx$

其实，这一积分也十分容易定义，毕竟我们已经定义了积分上限为正无穷的无穷积分和积分下限为负无穷的无穷积分，只要二者相加即可。即：

存在一个实数 $a$ ，积分：

$%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%3D%5Clim_%7BA%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cint_a%5EAf(x)%5Ctext%20dx%20$

$%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5Eaf(x)%5Ctext%20dx%3D%5Clim_%7BA%5Cto-%E2%88%9E%7D%20%5Cint_A%5Eaf(x)%5Ctext%20dx%20$

均收敛，则有：

$%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%3D%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%2B%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5Eaf(x)%5Ctext%20dx$

对于这一定义，我们指出，对于 $a$ 的选取，尽管我们说的是存在一个实数 $a$ ，但实际上 $a$ 应该是任意选取的。一方面，如果积分的收敛性不应该随 $a$ 的选取有所差别；另一方面，积分收敛的数值也不应该随 $a$ 的选取有所差别。严格证明就留给大家。

另外，我们还提到一点，就是这一定义实际上可以写作：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20%5Cdelta%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cforall%20A%EF%BC%9E%5Cdelta%20%EF%BC%8CB%EF%BC%9C-%5Cdelta%20%EF%BC%8C%5Cbigg%7C%5Cint_B%5EA%20f(x)%5Ctext%20dx-I%5Cbigg%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

（命题1）

特别地，如果满足积分这一等价定义，令：

$A%3D-B$

就有：

$%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%3D%5Clim_%7BA%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cint_%7B-A%7D%5E%7BA%7D%20f(x)%5Ctext%20dx$

不过，一般而言，从右侧的极限收敛是推不出左侧的积分收敛的。而右侧的极限在某些学科领域又有着一些重要的应用。所以，我们重新给右侧的特殊定义所定义出的概念给一个新的名字，称为Cauchy主值，记作：

$P.V.%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%3D%5Clim_%7BA%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cint_%7B-A%7D%5E%7BA%7D%20f(x)%5Ctext%20dx$

另一类积分相较而言则要更为特殊一点。我们讲过，如果函数可积，那么它必须有界。然而，很多时候，物理学中研究的场的问题当中，又会出现在某一点附近的场发生奇变的情况，这种奇变多数会导致在这一点附近场的某些性质陡增到无穷大；而实际问题当中又需要对包含这一点在内的场的分布总和做以描述，这需要利用积分来完成。因此，对于这种无界函数的积分，我们也需要给予研究。

我们先来考虑定义在区间 $%5Ba%2Cb)$ 上的无界函数 $f$ 的这种广义积分，其中函数 $f$ 在 $x%3Db$ 附近无界。也是和无穷积分的定义类似，如果函数 $f$ 在任意闭子区间：

$%5Ba%2Cc%5D%5Csubset%20%5Ba%2Cb)$

上可积，即函数：

$I(c)%3D%5Cint_a%5Ecf(x)%5Ctext%20dx$

都存在且有限，那么当极限：

$%5Clim_%7Bc%5Cto%20b%7D%20I(c)%3D%5Clim_%7Bc%5Cto%20b%7D%20%5Cint_a%5Ec%20f(x)%5Ctext%20dx%20$

存在且有限时，称该积分收敛，或称其广义可积，并以此极限值作为该反常积分的积分值；反之，如果该极限发散，则称该积分发散。

由于该类积分涉及到无界函数的无穷大不连续点附近的性质，因此称该类积分为瑕积分，可以理解为在有瑕疵的点附近的积分。

一般来说，瑕积分的定义也可以写作：

$%5Clim_%7B%5Cdelta%20%5Cto0%5E%2B%7D%20I(%5Cdelta%20)%3D%20%5Clim_%7B%5Cdelta%20%5Cto0%5E%2B%7D%20%5Cint_a%5E%7Bb-%5Cdelta%20%7Df(x)%5Ctext%20dx$

类似地，我们也可以定义：

$%5Clim_%7B%5Cdelta%20%5Cto0%5E%2B%7D%20I(%5Cdelta%20)%3D%20%5Clim_%7B%5Cdelta%20%5Cto0%5E%2B%7D%20%5Cint_%7Ba%2B%5Cdelta%20%7D%5E%7Bb%7Df(x)%5Ctext%20dx$

其中，函数 $f$ 在 $(a%2Cb%5D$ 上有定义，在 $x%3Da$ 附近无界。

那么，现在我们就可以定义任意包含奇点的无界函数的积分了：

设函数 $f$ 在区间 $%5Ba%2Cc)$ 上和 $(c%2Cb%5D$ 上有定义，且积分：

$%5Clim_%7B%5Cdelta%20%5Cto0%5E%2B%7D%20I(%5Cdelta%20)%3D%20%5Clim_%7B%5Cdelta%20%5Cto0%5E%2B%7D%20%5Cint_a%5E%7Bc-%5Cdelta%20%7Df(x)%5Ctext%20dx$

$%5Clim_%7B%5Cdelta%20%5Cto0%5E%2B%7D%20I(%5Cdelta%20)%3D%20%5Clim_%7B%5Cdelta%20%5Cto0%5E%2B%7D%20%5Cint_%7Bc%2B%5Cdelta%20%7D%5E%7Bb%7Df(x)%5Ctext%20dx$

都收敛，则称瑕积分：

$%5Cint_a%5E%7Bb%7Df(x)%5Ctext%20dx$

收敛，且有：

$%5Cint_a%5E%7Bb%7Df(x)%5Ctext%20dx%3D%5Cint_a%5E%7Bc%7Df(x)%5Ctext%20dx%2B%5Cint_c%5E%7Bb%7Df(x)%5Ctext%20dx$

换句话说，也就是：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20%5Cdelta%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cforall0%EF%BC%9C%20%5Cxi%20%2C%5Ceta%20%EF%BC%9C%5Cdelta%20%EF%BC%8C%5Cbigg%7C%5Cint_a%5E%7Bc-%5Cxi%20%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%2B%5Cint_%7Bc%2B%5Ceta%20%7D%5E%7Bb%7D%20f(x)%5Ctext%20dx-I%5Cbigg%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

（命题2）

与无穷积分类似，瑕积分也有对应的Cauchy主值：

$P.V.%5Cint_a%5E%7Bb%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%3D%5Clim_%7B%5Cxi%20%5Cto0%5E%2B%7D%20%20%5Cbigg(%5Cint_a%5E%7Bc-%5Cxi%20%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%2B%5Cint_%7Bc%2B%5Cxi%20%7D%5E%7Bb%7D%20f(x)%5Ctext%20dx%5Cbigg)$

介绍过基本概念之后，我们就要来简要介绍一下反常积分的基本计算方法了。

由于反常积分的概念是由常义积分推及得到的，因此我们对常义积分的计算方法只要经过合理改进也就可以用在反常积分上。

首先是Newton-Leibniz公式。注意到：

$%5Cint_a%5EAf(x)%5Ctext%20dx%3DF(A)-F(a)$

其中， $f$ 连续， $F$ 为 $f$ 的一个原函数。则由反常积分的定义，就应该有：

$%5Clim_%7BP(A)%7D%20%5Cint_a%5EAf(x)%5Ctext%20dx%3D%20%5Clim_%7BP(A)%7D%20(F(A)-F(a))%3D%5Clim_%7BP(A)%7D%20F(A)-F(a)$

其中， $P(A)$ 表示一种极限过程。

类似地，对于反常积分而言，换元公式和分部积分公式也都成立，留给大家思考~

思考：

证明：对于上下限均为无穷大的无穷积分而言，参数 $a$ 的选取是任意的；

（思路参考文内说明）
证明无穷积分收敛的等价定义（命题1）；
证明瑕积分收敛的等价定义（命题2）；
叙述并证明反常积分的换元公式和分部积分公式；
计算下列反常积分：

（1）

$%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%20%7D%20%5Ctext%20dx$

（2）

$%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%5E2%7D%5Ctext%20dx%20$

（3）

$%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20e%5E%7B-ax%7D%5Csin%20bx%20%5Ctext%20dx$

（4）

$%5Cint_0%5E%7B1%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%20%5Ctext%20dx$

（5）

$%5Cint_0%5E%7B1%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%20%7D%20%5Ctext%20dx$

（6）

$%5Cint_0%5E%7B1%7D%20%5Cln%20x%5Ctext%20dx$