证明定积分性质：∫[a，b]kf（x）dx=k∫[b，a]f（x）dx（k为常数）

牛顿343、证明定积分性质：∫[a，b]kf（x）dx=k∫[b，a]f（x）dx（k为常数）

 

2010-09-06，网友“ecionaeli”上传名为《定积分的性质》的文档。

…定，积、分、积分，定积分：见《牛顿337~342》…

…性、质、性质：见《欧几里得37》…

（…《欧几里得》：小说名…）

 

文档内容：… 

…内、容、内容：见《欧几里得66》…

 

一、基本性质

…基、本、基本：见《欧几里得2》…

 

对定积分的补充规定：

（1）当a=b时，∫[a，b]f（x）dx=0

（2）当a＞b时，∫[a，b]f（x）dx=-∫[b，a]f（x）dx（证明见《牛顿342》）

…规、定、规定：见《牛顿342》…

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

 

说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小。

…说、明、说明：见《欧几里得149》…

…限：见《欧几里得178》…

 

性质1、常数可以提到积分号前。

…常、数、常数：见《欧几里得132》…

 

 ∫[a，b]kf（x）dx=k∫[b，a]f（x）dx （k为常数）

 

证： ∫[a，b]kf（x）dx=lim ∑kf（ξi）△Xi （定积分定义）

=lim k∑f（ξi）△Xi （加法交换律）

=k lim ∑f（ξi）△Xi {极限运算法则：lim f（x）=A时，Iim[cf（x）]=cA，其中c是一个常数，证明见《牛顿307》}

=k∫[a，b]f（x）dx

…∫：积分符号，为为字母s的拉长…见《牛顿338》…

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英语）：n.（名词）差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差。

adj.（形容词）差别的；以差别而定的；有区别的。

——《牛顿321》

 

dx什么意思？？——网友提问

2019-09-07，想玩游戏的猫：d（x）代表对x求微分。

dy/dx 中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函数中是，微分的意思。

dx就是对x的微分，是把增量细微化，dx就是很小很小的一个x。

——《牛顿3》]

 

…lim：limit…

…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围

v.限制；限定；限量；减量…

 

…∑：求和符号，英语名称：Sigma，汉语名称：西格玛（大写Σ，小写σ）。第18个希腊字母…见《牛顿130》…

…ξ：大写Ξ，小写ξ，是第十四个希腊字母，中文音译：克西。

小写ξ用于：数学上的随机变量…

 

…△：读音是“德尔塔”。音标为/deltə/。

在物理学中，△常常作为变量的前缀使用，表示该变量的变化量，如：△t（时间变化量）、△T（温度变化量）、△X（位移变化量）、△v（速度变化量）等等…见《牛顿8》…

“上图极限lim下方有个‘|T|→0’，作者没说‘T’什么意思。

按我的理解，周期用T[英文time（时间）首字母]表示，T的绝对值（|T|）表示周期长度，也就是极限定义中的区间长度λ。”小学生说。

…极、限、极限：见《牛顿202~321》…

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

…λ：希腊字母表中排序第十一位的字母，大写为Λ，英语名称Lambda…

 

“定积分性质2、代数和的积分等于积分的代数和。

请看下集《牛顿344、证明定积分性质：∫[f（x）±g（x）]dx=∫f（x）dx±∫g（x）dx》”

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