二进制与十进制的转换和运算

        熊博士看见了小卓、小聪、小淘过于高兴，于是熊博士提到：“看来二进制运算对你们来说太简单了，我得增加难度了！”请看下一题：112.13（10）=？（2）（精确到小数点后9位）。

        现在老师想问大家：“这回变成了小数，你们还会算吗？”小卓说：“由于变成了小数，所以无法转换。”这回老师告诉大家：“小卓说的是错的，正确方法是整数部分与小数部分分开算。112部分还是用短除法，上节课我给大家讲过，这节课我就不在阐述了：112÷2=56，56÷2=28，28÷2=14，7÷2=3……1，3÷2=1……1，1÷2=0……1，整数部分就是111000000。”小数部分解答之前，老师教大家的是二进制的乘法运算与十进制的乘法运算竖式有什么区别：“十进制就是乘积与乘积的每位对齐，以及运算结果，例如1.2×2，我们把12分别放在上方，十位写1，个位写2，另一个乘积的2与12中的2对齐，算出的24中，4写在十位，2写在个位，乘数的小数点写在1和2的中间，最后落到2和4的中间。二进制运算也是一样的，要求一个小数乘以2，格式与十进制相同，只是每一步都要在右边标注整数部分。将整数部分从上到下依次取，直到积为0或整数部分循环再停止运算，除非题目中有特殊的说明：0.23×2=0.46（整数部分为0）,0.46×2=0.92（整数部分为0）,0.92×2=1.84（整数部分为1）,1.84×2=3.68（整数部分为3）,3.62×2=7.24（整数部分为7）,7.24×2=14.48（整数部分为14）,14.48×2=28.96（整数部分为96），从上到下依次取整数是001371496……最后将整数部分和小数部分的转化结果合并起来，得到我们的最终结果111000000.001371496……”熊博士说：“恭喜小卓回答正确！”小淘说：“计算量和计算难度可并非划等号哦！”熊博士又说：“二进制转十进制也是要学的。”老师跟同学们说：“这会我们可以放松一点心态了，因为二进制转十进制解答要比十进制转二进制相对简单。看题目345.678（2）=？（10）”。这里有个定理：按权展开式。简单地来说就类似于位值原理。例如11在十进制里面有10个1和1个1，那么它就可以写成1×10+1×1**10，那么类比二进制，根据进位规则，我们就应该把10改成2，即1×2+1×2**10，于是345.678的按权展开式就是3×2²+4×2+5×2**0+6×2**-1+7×2**-2+8×2**-3，它的结果就是二进制转为十进制的结果，经过计算，结果是30.75，所以这道题的答案是30.75。此时熊博士说：“你再次击败了我，小卓，我给你们一个奖杯。但要想再得一个奖杯，还要3道终极挑战全部回答正确才能获得奖杯。这回小卓、小聪、小淘依次各答一道。请听题：a25.125（2）=34（10）中，a的值等于多少？”老师想问问大家：“小卓是怎样解的吗？请同学们思考1分钟”“想好了吗？这道题看上去有答案，实际没有答案，原因是依题意得方程a²×2²+2×2+5×2**0+1×2**-1+2×2**-2+5×2**-3=34，解得a=（175根号2）/4或a=-[（175根号2）]/4，这两个值都不是有且仅有一位的整数。”小卓说：“熊博士，你出的是伪命题。”熊博士找出了自己错误的原因后，说：“看在我题目出错的份上，第一题算你答对。请听第二题：已知相同汉子代表相同数字，不同数字代表不同数字。0=命，1=题，那么根据二进制计算，将‘题命题题命-题命命题=题命题命题’的文字算是转化为数字算式。”老师再问问大家：“小聪又是怎样解的吗？请同学们结合上节课所学的二进制减法算法思考。”“思考结束。我们来一步步分析：假设个位不退位，则各位应为1-1=0或1-0=1或0-0=0，但减数的个位与差的个位汉字相同，与被减数不同，可知不合题意，与假设矛盾，那么个位必须从十位借一位，即个位0-1，十位变0，原式变为10110-1001=10101，经检验，变形算式恰好等价于原题算式，故答案为10110-1001=10101。”熊博士说：“很聪明啊，小聪，这么难的题你都答对了，怪不得你叫小聪。但是别高兴太早，还有最难的最后一题呢！请听题：129（10）=？（2）中的？是7位数吗？如果是7位数，请加以说明；如果不是7位数，请更改129中的一位数，使129（10）=？（2）中的？是7位数。”这时老师必须要告诉小淘的解题方法，因为这题确实挺难的，换成我都不一定答得出来。看看小淘是怎么解得吧。因为129÷2=64……1，64÷2=32，32÷2=15……1，15÷2=7……1，7÷2=3……1，3÷2=1……1,，1÷2=0……1，余数从下往上排是10000001，有8位数，8≠7，所以？不是7位数，把9改成4可使129（10）=？（2）中的？是7位数（124÷2=62，62÷2=31，31÷2=15……1，15÷2=7……1，7÷2=3……1，3÷2=1……1，1÷2=0……1，余数从下往上排是1011100）。其实小淘的解题思路就是判断？是不是7位数是正常利用十进制转为二进制的法则算的；在更改数字时并没有一个一个数地假设，而是找到了一个突破口：看原数的个位是奇数还是偶数，如果个位是奇数，那么转换二进制后结果的尾数就是偶数个，如果个位是偶数，那么换为二进制后结果的位数就是奇数个。同学们，你们找到这个规律了吗？是不是很有趣呢？最后熊博士说：“全部回答正确，太完美了，现在我手上的奖杯全归你们了。”

        老师最后想问问大家：“现在熊博士连续三次全被小卓、小聪、小淘打败了，是不是很厉害呢？你们也要向它们好好学习哦！这节课就上到这里了，同学们再见。”