浅谈利用定积分计算函数图像面积的合理性

在并未实地接触微积分的广大人群中，认为利用微积分计算函数曲线下的图像面积是一种数学上的极微近似的人不占少数。然而在学了极限后的人群中，这样的思想可能会转变为：利用微积分计算函数曲线下的图像面积并非近似，而是利用了极限的思想。

两者有异曲同工之妙，近似和极限似乎是一对近义词，但近似相对于极限来说显得大一些。在极限下，取极值就是取定这个数终不能到达的数但永远趋近的数，近似则是粗略的对一个数进行复杂程度的减小，简单来说，后者对数的值的改变远远大于前者对数的值的改变。

但是，如此确定地认为微积分对面积的计算真的只是极限思维，我觉得，还不至于。对于微积分对面积的计算，我觉得是做的最好的，甚至可以说，在数学史上，这无疑是一个最为精妙的工具。

前言说了这么多，该拿出点实话了。

我们得先了解一下函数“曲线”的本质，说到底，每条函数“曲线”都是无数个满足函数解析式的值在函数图上的连线，也就是无数条无限短的线段的组成，在宏观上看是曲线，在微观上看却是无数条线段。这里面存在的端点，显然，在不计触碰原点（这里考虑函数曲线上存在有0的值）的情况下，仍然有无数个。

定积分的本质是什么？将一个要求的图像进行无穷分，每次分割出一个矩形，它们的底显然都相等，唯一不等的是高（这里我们考虑只有一条曲线，在后来我们会发现多条曲线仍然可以通过原有的算法进行加减计算）。我们知道，每个矩形对应的高的值取决于它所在的x值进行函数解析式的运算后的y值，而这个y值，实际上就是函数曲线的无数条线段组成的其中一个端点。实际上，我们不妨认为，将底无穷等分，高就有无穷多份，随着底越来越小，对应的高在函数曲线上的点就越来越密集，则就是曲线中的无数个端点。

这个时候，我们回过头来，用图像来表示，把曲线下的图形分成无穷多份矩形，似乎每次都会多出来一块于曲线外，看着似乎极不规则，但实际上，如果份数越来越少，我们就根据上一段可以得出，在宏观上观察，似乎的确不规则，但在微观上看，实际上就是一群小三角形。

约去这些小三角形，得到的其实就是面积了，而这具体的，仅仅只需要用一个最为简单的例子来说明——f（x）=x，即y=x，这个时候，我们取过原点的那条函数定义的直线上取一点，并过此点作一直线垂直于x轴，此时得到一个直角三角形，假设底为a，进行n等分，经过定积分计算（我们这里由于讨论主题不讨论经典的几何算法即底乘高乘1/2了），不难得出，多出来的这群小三角形的面积为a²/n，这个值随着n的趋向无穷大而趋向无穷小即趋向0。此时无穷小似乎在极限看来可以约去，实则不然，其实是“减去”而不是“约去”。当然，无论如何，即使你就主体为那群多出来的小三角形求面积，仍然得a²/n，你若不信，倒可试试。

那么，实际上，我们的结论就出来了。每一条函数曲线其实就是上段直角三角形斜边的复杂变形，进行定积分运算，多出来的那部分必定是规则的小三角形，而不是不规则的图形——正如我在5、6、7段中所陈述的。

由此可见，定积分真可谓是一个精妙的计算工具。数学家们拿着它过关斩将，每个人能够学到它，那就是这个人至高无上的荣幸啊。