大学物理（原子物理学）知识梳理与例题选讲：§05 电子的自旋

关于自旋的背景知识

背景

# 电偶极矩、磁偶极矩的引入(略)

# 受力与能量

## 合力F

### 电偶极子

• 均匀场合力为0，但合力力矩不为0

• 非均匀场

### 磁偶极子

## 合力矩（匀场）

## 能量（匀场）

# 量子化角动量与磁矩

## 角动量的取向

注意：磁矩在z轴的投影μ_z式子的负号表示方向与角动量的投影L_z反向。并且需要注意的式这里的磁矩μ与角动量L为电子轨道的所产生的量

# 施特恩-盖拉赫实验

打在显示板上为条状分布

如果只考虑轨道磁矩则为2l+1条痕迹，但是可能会出现偶数条痕迹，说明不止存在轨道磁矩。

不仅如此，Z的大小与理论计算（只考虑轨道磁矩下）存在差别，条带的间距也是不对的。

# 章节结语

自旋假设的提出

# 自旋的假设

角动量

• 轨道角动量
• 内禀角动量？

注意：接下来讲解的与自旋相关的公式均由定义而得，而非推导求出

## 规定/假设

### 电子自旋的大小与方向

自旋角动量S，而 s=1/2；投影自旋角动量S_z，投影自旋量子数m_s、m_l

原子物理的概念：

• 平行：夹角为锐角
• 反平行：夹角为钝角

### 磁矩

• 轨道磁矩

• 为了契合实验（施特恩-盖拉赫实验）的假设

注意：自旋磁矩的投影 μ_sz 在式子中需要由负号，因其与角动量S_z的投影反向

## 验证施特恩-盖拉赫实验

基态氢原子时

# 章节结语

## 自旋式非经典模型

单电子的L-S耦合

# 耦合

耦合：两个量之间存在关系，相互不独立

• 存在约束
• 共同改变系统参考量
• 共同参与外界作用

# 单电子的L-S耦合

## 量子角动量的叠加

### 合成后的量子数 j 取值

合成角动量的投影J_z = L_1z + L_2z，可得

### 例题：投影量子数

m_j的取值可能为

m_j的个数 = 2j + 1，通过画 L 型确定

j的间隔为1，如j = 2时，-2，-1，0，1，2

j的取值范围

### 例子：自旋角动量与轨道角动量

• 确定 j 的最大值
• 找间隔为1的数与对应的最大m_j数（2j+1）

此题中m_j为偶数，即 2j+1(其中 j为半整数)。解释了施特恩-盖拉赫实验出现偶数条痕

## 轨道角动量量子数 l ,电子自旋角动量量子数s, 总角动量量子数 j 的关系

决定单电子状态的量子数：

• 能层 n
• 轨道角动量量子数 l
• 电子自旋角动量量子数 s
• 总角动量量子数 j

## 原子状符号

其中轨道角动量量子数 l 使用亚层表示，即如下图

例如

# 例题：单电子L-S耦合

矢量三角形

由余弦定理得

可得：轨道角动量L ∙ 自旋角动量S

朗德g因子

# 总磁矩的x磁比（磁矩/角动量）

## 矢量合成

## 朗德g因子

朗德g因子：

• 仅自旋
• 仅轨道

• 一般的情况

定义一些量为：

计算可得：

化简整理可得

可得一般的朗德g因子为：

### 例题：朗德g因子

• 单电子

• 多电子

## 有效磁矩μ_j与总角动量 J的关系

电子对应的角动量的有效磁矩的投影的量子化的状况

# 回顾施特恩-盖拉赫实验

## 例题：施特恩-盖拉赫实验

已知如下

求解（2）实验冲会出现几条带痕？相距间隔为多少？

定义常数 Z_0

由施特恩-盖拉赫公式可得

可得氯原子Cl的朗德g因子

可发现条带为等距分布

也可使用比例求出

# 章节结语

碱金属的精细结构

# 碱金属的精细结构

• 碱金属：最外层只有一个电子
• 精细结构：考虑电子自旋的结构

精细结构需要考虑电子自旋是因为电子的L-S耦合

# 电子L-S耦合磁场的相互作用

## 耦合能量的定性分析

电子的L-S耦合能量的取向不同，从而导致能级的二重态

### 例子：能级二重态

原子态表示法的左上角，即2s+1，也表示能级的n【2s+1】重态

单电子在S态上不分裂，多电子都在S态上可能会分裂

如: 3S

# 碱金属的性质

最外层的电子与里层电子的作用是否需要考虑？

不需要考虑，碱金属内层电子完全填满，若考虑泡利不相容原理可知电子对相互抵消

塞曼效应I

# 塞曼效应

塞曼效应：在加入外磁场【外磁场不太大】后的发光物质的谱线会分裂。（因电子的L-S耦合而产生）

帕邢-巴克效应：当外磁场过大时，电子的L-S耦合可以忽略不计，进而就会发生电子的轨道角动量将与自旋角动量分立的出现

## 塞曼效应的分类

• 正常的塞曼（ Zeeman）效应
• 反常的塞曼（ Zeeman）效应

## 塞曼效应的定量计算

产生塞曼效应的原因：附件能量的存在

## 光谱能态

• 不考虑自旋时

注意：m_1,m_2需要满足跃迁的选择定则

### 跃迁的选择定则

定则：m_2 - m_1 = 0或者±1

证明看 杨福家《原子物理学》第四版的附录3

### 正常的塞曼效应

正常的塞曼效应：不考虑电子自旋的光谱谱线分裂的状况

### 光谱谱线的分布分析

枚举法

#### 格罗春图

• 例1：格罗春图

结合跃迁的选择定则（m_2 - m_1 = 0或者±1）

可得，格罗春图为

m_2g_2 - m_1g_1的可能取值为

能级跃迁图

• 例2：格罗春图

可得下图

结合选择定则，可得

能级图

# 章节结语

塞曼效应II

# 塞曼效应偏振效应

## 跃迁中的光的偏振

### 圆偏振光

### 线偏振光

## 观察光谱的方向

帕邢-巴克效应

# Paschen-Back 效应

实质：Zeeman 效应在强磁场下的变种.

## Paschen-Back 效应的能级分裂

### 例子

由跃迁选择定则，即

Δm_l = 0、±1，Δm_s = 0

注意区别于塞曼效应的选择定则

则，可得

#### 能级图

• 对于2p

可得

• 对于2s

可得

由跃迁选择定则，即Δm_l = 0、±1，Δm_s = 0，得

共6条谱线

#### 对比塞曼效应

共10条谱线

# 章节结语

• 适用于碱金属，不适用用于多电子体系
• 施特恩-盖拉赫实验
• 朗德g因子
• 塞曼效应、帕邢-巴克效应在多电子中仍然存在不过较为复杂，因此在多电子体系不讨论